1．式子的值为          

2．统计某校800名学生的数学期末成绩，得到频率分布直方图

如图示，若考试采用100分制，并规定不低于60分为及格，

则及格率为   ▲    ．

3． 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是   ▲    ．

4．如图所示的流程图输出的结果是   ▲    ．

5．函数y＝sinx＋cosx，x∈[，π]的值域是   ▲    ．

6．设变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最大值是   ▲    ．

7．函数的单调减区间为___________________．

．

8．已知函数y＝f (x)的定义域为R，f (27)＝3，且对任意的实数x₁，x₂，必有f (x₁?x₂)＝f (x₁)? f (x₂)  成立，写出满足条件的一个函数为   ▲    ．

9．定义在R上的奇函数f (x)，已知x＞0时，f (x)＝log₂x，则方程f (x)＝1的解集是   ▲    ．

10．命题“ax²－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数的取值范围是   ▲    ．

11．等比数列{a_n}的公比为q（q≠0），其前n项和为S_n，若S₃，S₉，S₆成等差数列，则q³＝   ▲    ．

12．已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，→?→＝－2，则|→|的最小值是   ▲    ．

13．双曲线－y²＝1(n＞1)的两焦点为F₁、F₂，P在双曲线上且满足PF₁＋PF₂＝2，则△PF₁F₂的面积为   ▲    ．

14．函数f (x)是定义在[0，1]上的函数，满足f (x)＝2f ()，且f (1)＝1，在每一个区间(，](k＝1，2，3，…)上，y＝f (x)的图象都是斜率为同一常数m的直线的一部分，记直线x＝，x＝，x轴及函数y＝f (x)的图象围成的梯形面积为a_n（n＝1，2，3，…），则数列{a_n}的通项公式为

      ▲    ．（用最简形式表示）

15．（本小题满分14分）如图，A，B是圆O上的两点，点C

是圆与x轴正半轴的交点，已知A（－3，4），且点B在

逆弧CA上，△AOB为正三角形．

（1）求cos∠COA；

（2）求BC²的值．

16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底

面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是

PD的中点，F为ED的中点．

 （1）求证：平面PAC⊥平面PCD；

 （2）求证：CF∥平面BAE．

17．（本小题满分14分）甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方  有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x＝2000．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．

   （1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

   （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t²（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

18．（本小题满分16分）如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)

的焦点F₁，F₂和短轴的一个端点A构成等边三角形，

点(，)在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上的动点，PQ ⊥l，垂足为Q．是否存在点P，使得△F₁PQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分16分）已知k为正常数，方程x²－kx＋u＝0有两个正数解x₁，x₂．

（1）求实数u的取值范围；

   （2）求使不等式(－x₁) (－x₂)≥(－)²恒成立的k的取值范围．

20．（本小题满分16分）设数列的所有项都是不等于1的正数，前n项和为，已知点在直线上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）如果，求实数，的值；

（Ⅲ）如果存在，使得点和都在直线上，试判断，是否存在自然数，当时，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

江苏省南京市江宁高级中学2009届高三第二次阶段性测试答卷

1．                　     2．                        3．               

4．                　     5．                        6．                

7．                　     8．                        9．               

10．                　    11．                       12．               

13．                　     14．                        

15．

16．

17．

18．

19．

20．

 
附加题部分

1．选修4－1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＞AC，点O是外心，两条高 BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，FH上，且满足BM＝CN，求的值．

2．选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁＝，属于特征值1的一个特征向量为α₂＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

3．选修4－4：坐标系与参数方程

   把参数方程（t是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

4．选修4－5：不等式选讲

已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且有a＋b＋c＝1，a²＋b²＋c²＝1．

   求证：1＜a＋b＜．

5．某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得－1分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ．

(1)求该观众得分ξ为非负的概率；

(2)求ξ的分布列及数学期望．

6．如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2，BB₁＝3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．

(1)求直线BE与A₁C所成的角的余弦；

(2)在线段AA₁上取一点F，问AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？

江苏省南京市江宁高级中学2009届高三

第二次阶段性测试答案

1．-2    2．0.8      3．30     4．192     5．[－，2]    6．18     7．（0,1）8．y＝  9．{2，－}   10．(－∞，0)∪[3，＋∞）  11．－      12．

13．1     14．

15．（1）因为A（－3，4），

所以cos∠COA＝＝－；………………………………………………………4分

（2）sin∠COA＝＝；  …………………………………………………………6分

   所以cos∠BOC＝cos(∠COA－)＝cos∠COA cos＋sin∠COA sin

                 ＝－×＋×＝．…………………………………………10分

在△OBC中，由余弦定理得：

BC²＝OB²＋OC²－2 OB?OC?cos∠BOC＝5²＋5²－2×5×5×

＝65－20． ……………………………………………………………………………14分

16．（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，…………………………………………………2分

又AC⊥CD，且AC∩PA＝A，

        所以CD⊥平面PAC，……………………………………………………………………4分

又CDÌ平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．………………………………………6分

   （2）解法一：取AE中点G，连接FG，B G．

因为F为ED的中点，所以FG∥AD．…………………………8分

在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，

所以AC＝AD，所以BC＝AD．

在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，

从而∠ACB＝∠DAC，

所以AD∥BC．………………………………………………………………………………11分

综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形，

所以CF∥BG．

又BGÌ平面BAE，CFË平面BAE，所以CF∥平面BAE．  ……………………………14分

解法二：延长DC与AB交于G点，连接EG．

因为在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠CAB＝60°,

所以∠CAB＝∠ACD，

即AC为∠DAG的平分线．…………………………………9分

又AC⊥CD，所以AG＝AD，C为DG中点，

又F为ED的中点．

所以CF∥EG．……………………………………………… 12分

根据EGÌ平面BAE，CFË平面BAE，所以CF∥平面BAE．……………………………14分

16．(1)解法一：因为赔付价格为s元／吨，所以乙方的实际年利润为：

w＝2000－st（t≥0）．……………………………………………………2分

因为w＝2000－st＝－s(－)²＋，…………………………………………4分

所以当t＝ ()²时，w取得最大值．

　　    所以乙方取得最大年利润的年产量t＝ ()² (吨)．…………………………………6分

　　解法二：因为赔付价格为s元／吨，所以乙方的实际年利润为：

　　　　w＝2000－st（t≥0）．…………………………………………………………2分

由w′＝－s =，令w′＝0得t＝t₀=()²．……………………………4分

　　　　当t＜t₀时，w′＞0；当t＞t₀时，w′＜0，所以t＝t₀时，w取得最大值．

　　　　因此乙方取得最大年利润的年产量t₀＝()² (吨)．…………………………………6分

(2)设甲方净收入为v元，则v＝st－0.002t²．………………………………………………8分

　将t＝()²代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式：

v＝－．         ………………………………………………10分

　　　　又v′＝－＋＝

　　　　令v′＝0，得s＝20．

　　　　当s＜20时，v′＞0；当s＞20时，v′＜0，所以s＝20时，v取得最大值．…………13分

　　　　因此甲方向乙方要求赔付价格s＝20 (元／吨)时，获最大净收入．　………………14分

17．（1）椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知△AF₁F₂为正三角形，所以

      sin∠AF₁O＝＝，所以＝，＝．

      设b²＝3λ，a²＝4λ，椭圆方程为＋＝λ．

椭圆经过点(，)，解得λ＝1，所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1．……………6分

（2）由＝e＝，得PF₁＝PQ．所以PF₁≠PQ．……………………………………………8分

①若PF₁＝F₁Q，则PF₁＋F₁Q＝PQ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，所以PF₁不可能与PQ相等．…………………………………………………………………………………10分

②若F₁Q＝PQ，设P(x，y)(x≠±2)，则Q(－4，y)．∴＝4＋x，∴9＋y²＝16＋8x＋x²，又由＋＝1，得y²＝3－x²．∴9＋3－x²＝16＋8x＋x²，∴x²＋8x＋4＝0．∴7x²＋32x＋16＝0．∴x＝－或x＝－4．因为x∈(－2，2)，所以x＝－．所以P(－，±)．……………14分

综上，存在点P(－，±)，使得△PF₁Q为等腰三角形．……………………………16分

19．（1）由于方程x²－kx＋u＝0有两个正数解x₁，x₂．

     所以…………………………………………………………………………3分

解得0＜u≤，即实数u的取值范围是(0，]；……………………………………………6分

（2）(－x₁) (－x₂)＝x₁x₂＋－＝u－＋2．

令f (u)＝u－＋2（u＞0），所以f ′(u)＝1＋，………………………………………8分

（i）若k≥1，因为0＜u≤，所以f ′(u)＞0，从而f (u)在(0，]为增函数，所以

u－＋2≤f ()＝－＋2＝(－)²，即(－x₁) (－x₂)≥(－)²不恒成立．…10分

（ii）若0＜k＜1，

  由f ′(u)＝1＋＝0，得u＝，

  当u∈(0，)，f ′(u)＜0；当u∈(，＋∞)，f ′(u)＞0，

  所以函数f (u)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，………………………12分

要使函数f (u)在(0，]上恒有f (u)≥f ()，必有≥，

即k⁴＋16 k²－16≤0，…………………………………………………………………………14分

解得0＜k≤2．

       综上，k的取值范围是(0，2]．……………………………………………………16分

20．解：（Ⅰ）点，都在直线上，

，得．

常数，且，（非零常数），

数列是等比数列．                                      ………4分

（Ⅱ）由，得，

，得．

由在直线上，得，

令得（）．………10分

（Ⅲ）恒成立等价于，

  存在，使得和都在上，

  ，①

    ，②

①-②得：，

   易证是等差数列，设其公差为d，则有，

，，

①+②得：，

又，

由，  得，

即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，                                 ………13分

一定存在一个最小自然数M，使

   ，   即，

解得．

*，．

即存在自然数，其最小值为，使得当时，恒成立． ………16分

B．附加题部分

1． 如图在BE上取BK＝CH，连结OB、OC、OK，

由三角形的外心的性质可知：∠BOC＝2∠A＝120°，

由三角形的垂心性质可知：∠BHC＝180°－∠A＝120°，

所以∠BOC＝∠BHC，所以B、C、H、O四点共圆，∠OBH＝∠OCH，……………3分

又因为OB＝OC，BK＝CH，所以△BOK≌△COH，

因为∠BOK＝∠COH，OK＝OH，

所以∠KOH＝∠BOC＝120°，∠OKH＝∠OHK＝30°，………………………………6分

观察△OKH，有：＝，则KH＝OH，

又因为BM＝CN，BK＝CH，所以KM＝NH，所以MH＋NH＝MH＋KM＝KH＝OH，

故＝．…………………………………………………………………………8分

2．由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁＝可得， ＝6，

即c＋d＝6；…………………………………………………………………………………2分

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₂＝，可得 ＝，

即3c－2d＝－2，……………………………………………………………………………4分

解得即A＝，……………………………………………………………6分

A的逆矩阵是．…………………………………………………………………8分

3．解法一：由x＝，得x＝－1＋，即＝x＋1  ①，又＝y  ②，

②÷①得：t＝  ③，      ……………………………………………………3分

将③代入①得 x＋1＝，

整理得：x²＋＝1．   ……………………………………………………………………6分

因为t²＋1≥1，所以x＝－1＋∈(－1，1]，

所求普通方程为x²＋＝1 (x≠－1) ．……………………………………………………8分

解法二：由x＝，①，y＝②，

①²＋()²得x²＋＝1．   ……………………………………………………………………6分

因为t²＋1≥1，所以x＝－1＋∈(－1，1]，

所求普通方程为x²＋＝1 (x≠－1) ．………………………………………………………8分

4．因为a＋b＝1－c，ab＝＝c²－c，

    所以a，b是方程x²－(1－c)x＋c²－c＝0的两个不等实根，

则△＝(1－c)²－4(c²－c)＞0，得－＜c＜1，………………………………………………4分

而(c－a)(c－b)＝c²－(a＋b)c＋ab＞0，

即c²－(1－c)c＋c²－c＞0，得c＜0，或c＞，……………………………………………7分

所以－＜c＜0，即1＜a＋b＜．         ………………………………………………8分

5．（1）的可能取值为－4，0，4，12．  ……………………………………………………1分

P(ξ＝12)＝＝；………………………………………………………………………………3分

P(ξ＝4)＝＝＝；……………………………………………………………………………5分

P(ξ＝0)＝＝＝；…………………………………………………………………………7分

该同学得分非负的概率为P(ξ＝12)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝0)＝．………………………………8分

(2) P(ξ＝－4)＝＝．

ξ的分布列为:

ξ

－4

0

4

12

P

……………………………………………………………………………………………………………10分

数学期望Eξ＝－4×＋4×＋12×＝0．…………………………………………………………12分

6．(1)因为直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠ABC＝．

以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，…………………2分

因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，

从而B(0，0，0)，A(，0，0)，C(0，，0)，

B₁(0，0，3)，A₁(，0，3)，C₁(0，，3)，

D(，3)，E(0，)．

所以)．

而，

所以cosθ＝；………………………………………………………………5分

所以直线BE与A₁C所成的角的余弦为．……………………………………………………6分

(2)设AF＝x，则F(，0，x)，

，……………………………8分

＋x×0＝0，所以   ，………………………………………9分

要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由＝2＋x(x－3)＝0，

有x＝1或x＝2，……………………………………………………………………………………11分

故当AF＝1，或AF＝21时，CF⊥平面B₁DF．…………………………………………………12分