1、（2009上海九校联考）已知数列的前项和为，若，则           .

128

2、（（2009上海八校联考）在数列中，，且，_________。

2550

3、（2009冠龙高级中学3月月考）若数列中，，则数列中的项的最小值为_________。

4

4、（2009闵行三中模拟）已知是等比数列，，则=               。

（）

5、（2009上海十四校联考）若数列为“等方比数列”。则“数列是等方比数列”是“数列是等方比数列”的      条件

2

1、（2009上海十四校联考）无穷等比数列…各项的和等于               （    ）

       A．             B．              C．              D．

B

2、（2009上海卢湾区4月模考）

设数列的前项之和为，若()，则  (     )

A．是等差数列，但不是等比数列；  B．是等比数列，但不是等差数列；

C．是等差数列，或是等比数列；    D．可以既不是等比数列，也不是等差数列．

1、（2009上海卢湾区4月模考）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都满足：，其中为实数.

   （1）求数列的通项公式；

   （2）若为杨辉三角第行中所有数的和，即，为杨辉三角前行中所有数的和，亦即为数列的前项和，求的值.

解：（1） 由已知，，相减得，由得，又，得，故数列是一个以为首项，以为公比的等比数列.                     （4分）

    从而  ；                   （6分）

（2），                               （7分）

又，故，             （11分）

于是，

当，即时，，

当，即时，，

当，即时，不存在.                     （14分）

2、（2009上海八校联考）已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。

（1）证明:数列是等差数列；

（2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；

（3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。

（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

解: (1)依题意有,于是.

所以数列是等差数列.                      　　　　　　　　.4分

(2)由题意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②   

由②①得：,　所以是常数．　　　　　　　６分

由都是等差数列.

，那么得    ,

.    (      ８分

故                           　　 1０分

(3) 提出问题①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数

 提出问题②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数

解：问题①   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分

当为奇数时,,所以

当为偶数时,所以   　　　　

作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：.                  　　　　　　　　　　　　１３分

当为奇数时,有,即        ①

， 当, 不合题意.15分

当为偶数时,有 ，,同理可求得 

当时,不合题意. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1７分

综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或.                                    　　　　　　　 1８分

解：问题②   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分

当为奇数时,,所以

当为偶数时,所以   　　　　

作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：.                  　　　　　　　　　　　　１３分

当为奇数时,有,即        ①

， 当时，. 不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15分

当为偶数时,有 ，,同理可求得  .

；；当时，不合题意．1７分

综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为

；；　；1８分

3、（2009上海奉贤区模拟考）已知点集，其中，，点列在L中，为L与y轴的交点，等差数列的公差为1，。

（1）求数列的通项公式；

（2）若＝_，令；试用解析式写出关于的函数。

（3）若＝_，给定常数m(),是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

（1）y＝? ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1                 -----(1分)

与轴的交点为，所以；           -----(1分)

所以，即，                         -----(1分)

因为在上，所以，即    -----(1分)

（2）设 （），

即 （）         ----(1分)

（A）当时，

                                                     ----(1分)

==，而，所以              ----(1分)

（B）当时，   ----(1分)

= =，                        ----(1分)

而，所以                                       ----(1分)

因此（）                              ----(1分)

（3）假设，使得 ，

（A）为奇数

（一）为奇数，则为偶数。则，。则，解得：与矛盾。                   ----(1分)

（二）为偶数，则为奇数。则，。则，解得：（是正偶数）。           ----(1分)

（B）为偶数

（一）为奇数，则为奇数。则，。则，解得：（是正奇数）。             ----(1分)

（二）为偶数，则为偶数。则，。则，解得：与矛盾。           ----(1分)

由此得：对于给定常数m()，这样的总存在；当是奇数时，；当是偶数时，。                 ----(1分)

4、（2009冠龙高级中学3月月考）由函数确定数列，，函数的反函数能确定数列，，若对于任意，都有，则称数列是数列的“自反数列”。

(1)若函数确定数列的自反数列为，求的通项公式；

(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，若，为数列的前项和，为数列的调和平均数，求；

(3)已知正数数列的前项之和。求的表达式。

解：(1)由题意的：f ^?1(x)== f(x)=，所以p = ?1，所以a_n=

 (2) a_n=，d_n==n，

S_n为数列{d_n}的前n项和，S_n=，又H_n为数列{S_n}的调和平均数，

H_n===   ==

(3)因为正数数列{c_n}的前n项之和T_n=(c_n+)，

所以c₁=(c₁+)，解之得：c₁=1，T₁=1

当n≥2时，c_n = T_n?T_n?1，所以2T_n = T_n?T_n?1 +，

T_n +T_n?1 = ，即：= n，

所以，= n?1，= n?2，……，=2，累加得：

=2+3+4+……+ n，      =1+2+3+4+……+ n =，T_n=

5、（2009闵行三中模拟）已知点列B₁(1,y₁)、B₂(2,y₂)、…、B_n(n,y_n)（n∈N）顺次为一次函数图像上的点，点列A₁(x₁,0)、A₂(x₂,0)、…、A_n(x_n,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A_n、B_n、A_n+1构成一个顶角的顶点为B_n的等腰三角形。

⑴求数列{y_n}的通项公式，并证明{y_n}是等差数列；

⑵证明x_n+2-x_n为常数，并求出数列{x_n}的通项公式；

⑶在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。

解：（1）(nÎN),∵y_n+1-y_n=,∴{y_n}为等差数列 ………………4分

   （2）因为与为等腰三角形.

所以，两式相减得 。………………7分

注：判断得2分，证明得1分

∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x₆ ，…，x_2n都是公差为2的等差数列，………………6分

        ∴ ………………10分

   （3）要使A_nB_nA_n+1为直角三形，则 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()

        当n为奇数时，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).

        Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数，0＜a＜1)  (*)

        取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； ………………14分

        当偶数时，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.

        ∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1)  (*¢)，

取n=2，得a=,若n≥4，则(*¢)无解.

        综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. ………………18分

6、（2009上海青浦区）设数列的前和为，已知，，，，

一般地，（）．

（1）求；

（2）求；

（3）求和：．

（1）；                                          ……3分

（2）当时，（）

， ……6分

所以，（）．                                      ……8分

（3）与（2）同理可求得：，                       ……10分

设=，

则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得

，所以

．                          ……14分