（4）(2009年4月北京海淀区高三一模文)已知是直线，、是两个不同平面，下列命题中真命题是（   C ）

（A）若，，则              （B）若，，则

（C）若，，则             （D）若，，则

４．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)对于两条直线和平面，若，则“”是“”的(D)

A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(5) (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为（ C  ）

A.           B.          C.          D.     

5. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文理)已知直线a 和平面，那么的一个充分条件是（    C   ）

A. 存在一条直线b，        B. 存在一条直线b，

C. 存在一个平面       D. 存在一个平面     

5. (北京市崇文区2009年3月高三统一考试理) 已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，则α//β的一个充分条件是                                                         (    D  )

A.mα，mβ                 B.α⊥γ，β⊥γ

C.m⊂α,n⊂β， m∥n           D. m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α

5．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)下列命题中，正确的命题是  (     B    )                           

A．过空间任一点P均存在着与平面平行的直线

B．过空间任一点P均存在着与平面垂直的直线

C．过空间任一点P均存在着与平面平行的无数多条直线

D．过空间任一点P均存在着与平面垂直的无数多条直线

5．(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测文理)两个平面 与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内       （  C   ）

A．一定存在与直线平行的直线　          B．一定不存在与直线平行的直线　       

　 C．一定存在与直线垂直的直线　          D．不一定存在与直线垂直的直线

3. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)已知直线平面α ，直线平面α ，“直线c⊥，直线c⊥”是“直线c⊥平面α”的

（A）充分而不必要条件                  （B）必要而不充分条件         

  （C）充要条件                          （D）既不充分也不必要条件

（12）(2009年4月北京海淀区高三一模文)已知四面体―中，，且，，则异面直线与 所成的角为           .  

12．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)设地球半径为，在北纬圈上有甲、乙两地，它们的经度差为，则甲、乙两地间的最短纬线之长为　　　　　，甲、乙两地的球面距离为　　　　　．

答案:,

13. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上. 设此正方体的表面积为，球的表面积，则=_____________.

11. (北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)如图，等腰梯形ABCD中， E,F分别是BC 上三等分点，AD=AE=1,BC=3, ,若把三角形ABE和DCF分别沿AE和DF折起，使得B、C两点重合于一点P，则二面角P-AD-E的大小为                ．    

12. (北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)如图，等腰梯形ABCD中， E,F分别是BC边上的三等分点，AD=AE=1,BC=3, ,若把三角形ABE和DCF分别沿AE和DF折起，使得B、C两点重合于一点P，则二面角P-EF-D的大小为        ． 

11. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)在长方体中，，若点到这四点的距离相等，则＝         。

12. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测文) 在长方体中，，则长方体的对角线长为      。

（16）(2009年4月北京海淀区高三一模文)（本小题共14分）如图，四棱锥中， 平面，底面为直角梯形，且，，，.

（I）求证：；

（II）求与平面所成的角的正弦值；

（III）求点到平面的距离.

16解：方法1

（I）证明：在直角梯形中，，，

，且.         ………………………1分

取的中点，连结，

由题意可知，四边形为正方形，所以，

又，所以，

则为等腰直角三角形，

所以，                     ………………………2分

又因为平面，且 为在平面内的射影， 平面，由三垂线定理得，                     ………………………4分

(II)由(I)可知，，，，

所以平面，………………5分

是在平面内的射影，所以是与平面所成的角，……6分

又，………………7分

，，………………8分

，即与平面所成角的正弦为        …………9分

(III)由(II)可知，平面，平面，

所以平面平面，                           ………………10分

过点在平面内作于，所以平面，

则的长即为点到平面的距离，                        ………………11分

在直角三角形中，，，       ………………12分

，                                          ……………13分

所以即点到平面的距离为         …………14分

方法2

∵平面，

∴以A为原点，AD、AB、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系…………1分

∵，.

∴ B (0,4,0),    D (2,0 ,0) ,  C  (2,2,0)  ,  P ( 0,0,2)                 …………2分

（I）∴                        

∵                     ………………3分 

∴,     即                        ………………4分

 (II) ∵设面APC法向量

∴ ∴               ………………6分                 

设∴                          ………………7分

∵∴                  ………8分

=   ………………9分

即与平面所成角的正弦值为      

(III)由∵设面法向量

∴ ∴            ………………11分

设∴        ………………12分

∴点到平面的距离为             ………………13分

=

∴点到平面的距离为             ………………14分

17．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)（本题满分14分）

    如图，已知正三棱柱―的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．

（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

17．（本题满分分）

解法一：

   （Ⅰ）设正三棱柱―的侧棱长为．取中点，连结．

       ∵ 是正三角形，∴ ．

 又底面侧面，

 且两平面交线为，

       ∴ 侧面．

       连结，则为直线与侧面所成的角．

       ∴ ．                                        ………………2分

       在中，，解得．

       ∴ 此正三棱柱的侧棱长为．                            ………………4分

 （Ⅱ）过作于，连结．

       ∵ 侧面，∴ 是在平面内的射影．

              由三垂线定理，可知．

  ∴ 为二面角的平面角．                  ………………6分

       在中，，又，

       ，   ∴ ．

       又，

       ∴ 在中，．                   ………………8分

       故二面角的大小为．                    ………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面，

       ∴ 平面平面，且交线为，

       过作于，则平面．

       ∴ 的长为点到平面的距离．                    ………………10分

       在中，．     …………12分

       ∵ 为中点，∴ 点到平面的距离为．  …………14分

解法二：

       （Ⅰ）同解法一．

       （Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系．

       则．

       设为平面的法向量．

       由，

       得．

       取．                                         …………6分

       又平面的一个法向量．                         …………7分

       ∴ ． …………8分

       结合图形可知，二面角的大小为．         …………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ），，．            …………10分

       ∴ 点到平面的距离

          ．

    ∴ 点到平面的距离为．                           …………14分

(17) (北京市朝阳区2009年4月高三一模) （本小题满分14分）

如图，在直三棱柱中, 已知， ，，是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

(理)（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

(17) 解法一：

（Ⅰ）证明：因为，

是的中点，所以.

由已知，三棱柱是直三棱柱，

所以平面平面.

所以平面.

又因为平面,

所以.        ………………5分

（Ⅱ）解：由（1）知平面.

过作，垂足为,连结.

由三垂线定理可知，

所以是二面角的平面角.

由已知可求得，,   所以.

所以二面角的大小为.

由于二面角与二面角的大小互补，

所以二面角的大小为.              ………………10分

(理)（Ⅲ）过D作,垂足为,连结.

由（Ⅱ）可证得平面,所以,可证得平面.

所以, 为直线与平面所成的角.

在直角三角形中，可知，所以.

在直角三角形中，可知=.

在直角三角形中，=.

所以直线与平面所成角的正弦值为.     ………………14分

解法二：

以的中点为原点，先证明平面，建立空间直角坐标系（如图）.由已知可得

、、、、、.

（Ⅰ）证明：，.

因为，

所以.             ………………5分

（Ⅱ）解：.

设平面的一个法向量为，

由  得  

解得  所以.

又知，平面，所以为平面的法向量.

因为 ,所以

由图可知，二面角大于90º，

所以二面角的大小为.            ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一个法向量,

     又.

所以 .

因为直线与平面所成角为,

所以直线与平面所成角的正弦值为.               ………………14分

17. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理)（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 又

.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；

（Ⅲ）求点B到平面PAD的距离.

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在中，，

       ，

       ，即，                      ---------------------------1分

       ，

       平面.                              ---------------------------4分

（Ⅱ）方法一：

 解：由（Ⅰ）知，

又，

平面，                               ---------------------------5分

如图，过C作于M，连接BM，

是BM在平面PCD内的射影，

，

又

为二面角B-PD-C的平面角.                ---------------------------7分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

.      ---------------8分

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小为.                ---------------------------9分

  方法二：

       解：如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，

       则,            ---------------------------5分

过C作于M，连接BM，设，

       则，

，

；           1       

共线，

，               2

由12，解得，

点的坐标为，，，

,

，

又，

为二面角B-PD-C的平面角.                ---------------------------7分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小为.                  --------------------------9分

（Ⅲ）解：设点B到平面PAD的距离为h，               

       ，，

       平面ABCD，，

       ，

       在直角梯形ABCD中，，

       .

       在中，，，

        ，

        ，

           的面积，          ---------------------------10分

       三棱锥B-PAD的体积，

，                     ---------------------------12分

即，解得，

       点B到平面PAD的距离为.                  ---------------------------14分  

17. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 又

.

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求PA与平面ABCD所成角的大小；

(Ⅲ) 求二面角B-PD-C的大小.

17.（本小题满分14分）

方法一：（Ⅰ）证明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）如图，连接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC为PA在平面ABCD内的射影，

     为PA与平面ABCD所成的角.    --------------6分

     在中，，，

     ，

    在中，，，

    ，

    PA与平面ABCD所成角的大小为.                ---------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

平面.                                       ---------------------------9分

如图，过C作于M，连接BM，

是BM在平面PCD内的射影，

，

为二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------11分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

，

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小为.                       --------------------------14分

  方法二：（Ⅰ）同方法一.                                        ---------------------------4分

   （Ⅱ）解：连接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC为PA在平面ABCD内的射影，

       为PA与平面ABCD所成的角.                     ---------------------------6分

       如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，

         则, ，                   

                                                                 ---------------------------7分

       ，

       PA与平面ABCD所成角的大小为.               ---------------------------9分

 （Ⅲ）过C作于M，连接BM，设，

       则，

，

；           1       

共线，

，               2

由12，解得，

点的坐标为，，，

,

，

又，

为二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------12分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小为.                        --------------------------14分

16．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)（本小题满分14分）

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB//CD,AB=AD=1,D1D=CD=2,AB⊥AD．

（I)求证：BC⊥面D1DB；

（II)求D1B与平面D1DCC1所成角的大小；

（III)在BB1上是否存在一点F，使F到平面D1BC的距离为，若存在，则指出该点的位置；若不存在，请说明理由．

16．（本小题满分14分）

解法一：

（I)证明：∵ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，

 ∴ D1D⊥平面ABCD，

 ∴BC⊥D1D．

 ∵AB//CD, AB⊥AD．

∴四边形ABCD为直角梯形，

又∵AB=AD=1,CD=2，

可知BC⊥DB．

∵D1D∩ DB=D，

∴BC⊥平面D1DB．                                 -----------------------4分

（II)取DC中点E，连结BE,D1E.

∵DB=BC，

∴BE⊥CD.

∵ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，

∴ABCD⊥D1DCC1．

∴BE⊥D1DCC1．

∴D1E为D1B在平面D1DCC1上的射影，

∴∠BD1E为所求角．

在中， ．

．

∴所求角为．                 ---------------------------------9分

（Ⅲ）假设B1B存在点F,设BF= x,

∵,BC⊥平面D1BF，

∴.

∵,

∴.

又，

∴．

即存在点F为B1B的中点．                                ---------------14分

解法二：

（I)证明：如图建立坐标系D-xyz,

．

∴．

∵，

∴BC⊥DD1, BC⊥DB．

∵D1D∩ DB=D，

∴BC⊥平面D1DB．                                     ------------------4分

（II) ．

∵AD⊥平面D1DCC1，

∴平面D1DCC1的法向量，

∵．

∴D1B与平面D1DCC1所成角的大小为.         --------------------9分

（III) 假设B1B存在点F,设BF = a，则F(1,1,a),

设平面D1BC的法向量为，

由．令x=1,则y = z =1.

∴，又，

∴.

∵F到平面D1BC的距离为,

．

即存在点F为B1B的中点．      -------------------------------------------14分

16．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)（本小题满分14分）

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB//CD,AB=AD=1, DD1=CD=2,AB⊥AD．

（I)求证：BC⊥面D1DB；

（II)求D1B与平面D1DCC1所成角的大小．

16．（本小题满分14分）

解法一：

（I)证明：∵ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，

 ∴ D1D⊥平面ABCD，

 ∴BC⊥D1D．

 ∵AB//CD, AB⊥AD．

∴四边形 ABCD为直角梯形，

又∵AB=AD=1,CD=2，

可知BC⊥DB．

∵D1D∩ DB=D，

∴BC⊥平面D1DB．                                 -----------------------6分

（II)取DC中点E，连结BE,D1E.

∵DB=BC，

∴BE⊥CD.

∵ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，

∴ABCD⊥D1DCC1．

∴BE⊥D1DCC1．

∴D1E为D1B在平面D1DCC1上的射影，

∴∠BD1E为所求角．

在中， ．

．

∴所求角为．                 ---------------------------------14分

解法二：

（I)证明：如图建立坐标系D-xyz,

．

∴．

∵，

∴BC⊥DD1, BC⊥DB．

∵D1D∩ DB=D，

∴BC⊥平面D1DB．                                       ------------------6分

（II) ．

∵AD⊥平面D1DCC1，

∴平面D1DCC1的法向量，

∵．

∴D1B与平面D1DCC1所成角的大小为.          --------------------14分

17．(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测文理)（本小题14分）

如图，直三棱柱中，，，D为棱 的中点．

（I）证明：；

（II）求异面直线与所成角的大小；

（III）求平面所成二面角的大小（仅考虑

     锐角情况）．

17．（本小题14分）

（I）证：都为等腰直角三角形

，即……………………………………………  （2分）

又

…………………………………………………………   （4分）

（II）解：连交于E点，取AD中点F，连EF、CF，则

是异面直线与所成的角（或补角）…………………    （5分）

，，

在中，…………………   （8分）

则异面直线与所成角的大小为……………………    （9分）

（III）解：延长与AB延长线交于G点，连接CG

过A作,连，

，（三垂线定理）

则的平面角，即所求二面角的平面角…     （10分）

在直角三角形ACG中，

………………………………（11分）

在直角三角形中，……………………       （13分）

，

即所求的二面角的大小为………………………………………     （14分）

得 分

评卷人

17. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)（本小题共14分）

如图，在正三棱柱中，,是的中点，点在上，。

（Ⅰ）求所成角的正弦值；        

（Ⅱ）证明；

(Ⅲ) 求二面角的大小.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，   

，又是正△ABC边的中点，

，         

∠为所成角

又     sin∠=                          …………5分

（Ⅱ）证明:  依题意得   ，，

 因为    由（Ⅰ）知， 而，

所以              所以                     …………9分

(Ⅲ) 过C作于，作于，连接

  ，   …………11分  

又      是所求二面角的平面角

，      

二面角的大小为                                …………14分

17. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测文)（本小题共14分）

如图，在正三棱柱中，,是的中点，点在上，。

（Ⅰ）求所成角的大小；         

（Ⅱ）求二面角的正切值；

(Ⅲ) 证明.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，  

又  是正△ABC边的中点，

                               …………3分

∠为所成角

又     sin∠=                      …………5分

所以所成角为（）

（Ⅱ） 由已知得 

∠为二面角的平面角，     所以     …………9分

(Ⅲ)证明:  依题意  得   ，，

因为                        …………11分

又由（Ⅰ）中    知，且，

                                      …………14分