1．设集合M=?-1，1?,N=?x?x²+x-2＜0?,则M∩N等于

A．?-1，1?             B．?0?         C．?-1?              D．?-1，0?

2．函数的最小正周期为

A．            B．π            C．2π                      D．4π

3．抛物线x²=4y上一点M到它的焦点的距离为2，则M点的纵坐标为

A．                 B．1             C．2            D．

4．在各项均为正数的等比数列中，a₁=1，a₁+a₂+a₃=7，则a₄+a₅=

A．12             B．16             C．18                 D．24

5．设a=log_0.23，b=log₃0.2，则

A．-1＜b＜a                 B． b＜a＜-1        C．a＜-1＜b       D．b＜-1＜a   

6．用1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数，要求相邻数字奇偶性不同，且1不能排在首位，则这样的四位数的个数是

A．6           B．8             C．12            D．16

7．若x，y满足条件，则z=x－y的最小值为

A．1         B．－1         C．  3          D．－3

8．把直线y=λx+2按向量a=(－1，2)平移后恰与曲线x²+y²+2x－4y+4=0相切，则实数λ的值为

A．±1              B．1或2            C．                       D．－1或2

9．设f^－1(x)是函数的反函数，使f^－1(x)＞1成立的x取值范围是

A．                     B．                C．             D．x＜0

10．如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，某时刻太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆木板在地面上的投影是半个椭圆面，已知半椭圆面的面积与半圆木板的面积之比等于，则光线与地面所成的角的大小为(注：长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆面积为S=πab)

11．现有四个函数：①y=x?sinx ②y=x?cosx ③y=x??cosx? ④y=x?2^x，它们图像的一部分如下图所示，但顺序已被打乱，则图象对应的函数序号按照从左到右排序正确的一组是

A．④①②③               B．①④③②                     C．①④②③                    D．③④②①

12．在三棱锥P－ABC， PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2PA，D、E分别为棱AB、AC上的动点，且AD=CE，连结DE，当三棱锥P－ABC体积最大时，平面PDE和平面PBC所成的二面角的正弦值为

  A．     B．           C．                    D．

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

13.若展开式的各项系数之和为64，则展开式中的常数项为____________。

   （用数字作答）

14.在△ABC中，sin²A=sin²B+sinBsinC+sin²C，则A=_____

15.以正多面体各面的中心为顶点，得到一个新的正多面体，我们称这个新的多面体为原多面体的正子体。一个正四面体A₁的表面积为S₁，它的正子体A₂的表面积为S₂，A₂的正子体A₃的表面积为S₃，??????，如此下去，记第n个正子体的表面积为，已知，则S₁=____________。

16.M和N分别为曲线和x²+y²=1上的动点，则?MN?的最小值为____________。

17.（本题10分）

已知向量a=(sinωx,cosωx), (ω＞0),若函数f(x)=a?b图象的相邻两条对称轴之间的距离为。

（Ⅰ）求ω的最小值

（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间。

18.（本题12分）

在梯形ABCD中，BC∥AD，BA⊥AD，AB=BC=AD=a，O是AD的中点，将△DOC沿OC折起，使D位于P处，且二面角P-AB-C的大小为45°。

（Ⅰ）求证：OP⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线CD与平面 PAB所成的角的大小。

19.（本题12分）

甲、乙两名运动员每次试跳2米高度成功的概率分别为和p，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，甲、乙各试跳两次，设乙试跳成功的次数为ξ，且ξ的期望值Eξ=,η表示甲、乙试跳成功的次数差的绝对值。

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）求η的分布列及期望。

20.（本题12分）

已知函数F(x)=2log_a(2x+t-2)-log_ax(a＞0,a≠1,t∈R)的图象在x=2处的切线平行于x轴。

（Ⅰ）求t的值；

（Ⅱ）若对于任意的x∈[１，4]，都有F(x)≥2，求a的取值范围。

21.（本题12分）

已知双曲线的离心率为，它的右准线与渐近线在第一象限内的交点为M，且点M到原点的距离为。

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）直线l过双曲线C的右焦点F，交它的右支于P、Q两点，问双曲线C的实轴上是否存在点N，使得无论直线l处于何种位置，都有∠PNF=∠QNF？若存在，试确定点N的位置；若不存在，说明理由。

22.（本题12分）

已知数列?a_n?的前n项和为S_n,且a₁=4，。

（Ⅰ）求数列?a_n?的通项公式；

（Ⅱ）设数列?b_n?满足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-(n-1)b_n-2(n∈N^*),求证：b_n＞a_n（n≥2，n∈N^*）；

（Ⅲ）求证：

2009年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷

数学（理科）答案

1.C       2. B      3. B      4. D     5.D     6.A

7. A       8.C      9. B      10. A    11.C　  12.C

 1.B       2. C      3. C      4. D     5.D     6.A

7. A       8.B      9. C      10. A    11.B　  12.B

13．20  　            14．　        

15．               16．

17.解：（Ⅰ）依题意，

                                 ……………………3分

∵函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是,

∴函数的最小正周期为,又＞0,

∴，解得=1.      …………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

依题意,≤2≤，…………………8分

所以≤≤，

所以函数的单调递增区间为[， ]，.    ……………10分

18. 解：（Ⅰ）依题意平行且等于，

 //，又

依题意, .

平面，

平面.……………3分

，

可知为二面角的平面角，.

，，即.

所以平面.……………6分

（II）延长，交于E，连结，.

由(Ⅰ)可知, ,又,

.

,由(Ⅰ)可知, .

平面.

为直线与平面所成的角. ……………9分

在直角三角形中, ,

……………12分

19.  解：(Ⅰ)依题意知，故=，∴=．…………4分

（Ⅱ）的取值可以是0，1，2.

设甲两次试跳成功的次数为，

(=0)=  +   +  

=++

=．                 …………6分

(=2)= +==.                              

∴(=1)=1(=0)(=2)=． ………9分

故的分布列是

0

1

2

………10分

E=．…………12分

20．解：(Ⅰ)    ……………………3分

∵函数的图象在处的切线平行于x轴,

 ,

解得.………………………………………………………………5分

（Ⅱ）由(Ⅰ)可知,

……………………6分

令　　　　

∴当时，,当时，.

∴在上是单调减函数，在上是单调增函数. 　

，.…………………………8分

∴当时，有，当时，有.

∵当时，恒成立, ∴　  …………………………10分

∴可列①，或②

不等式组①的解集为空集，不等式组②得

综上所述，的取值范围是：..　……………………12分.

解法二：由于对任意的，都有成立，

所以，即，可得.…………7分

于是可化为.

当时,.

即最小值是32. (当时，上式取等号) …………9分

所以，又，所以.

所以的取值范围是…………12分

21.解：（Ⅰ）由可得…………2分

由解得,

依题意，,

所以双曲线C的方程为 …………5分

(Ⅱ)

(?)若直线l的斜率不存在，由双曲线的对称性可知，双曲线C实轴上的任何点都适合题意.       …………………6分

(?)若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x3)，

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N (t，0)

由得，

∵直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，

∴

解得k>或k<.                                                              ………………9分

∵∠PNF=∠QNF,∴K_NP=K_NQ. …………………10分

∴∴

即2x₁x₂-(t+3)(x₁+x₂)+6t=0，

将x₁+x₂=代入上式，整理得t=1.

综上所述：：存在点N满足条件，点N的坐标是N(1，0). …………12分

22.解：（?）当时，,

,

可得:,

.…………2分

可得, …………4分

（?）(1)当n=2时，不等式成立. …………5分

(2)假设当时，不等式成立，即.

那么,当时，

,所以当时，不等式也成立.

根据(1),(2)可知，当时，.…………8分

（?）设…………9分

上单调递减,

因为当时, …………10分

 .…………12分