1.  已知x₁ >= x₂ >= ... >= x_n, 以及y₁ >= y₂ >= ... >= y_n 都是实数，求证 若z₁ ,z₂ ,...,z_n 是y_i 的任意排列则有

∑(x_i-y_i)²   <=  ∑(x_i-z_i)²

上式中左右两边的求和都是i从1到n。

2.  令a₁ < a₂ < a₃ < ... 是一递增正整数序列，求证对所有i>=1，存在无穷多个 a_n 可以写成  a_n = ra_i + sa_j的形式，其中r，s是正实数且j > i。

3.  任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=RP。

4. 令A是将4444⁴⁴⁴⁴写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的各位数字之和。

5.  判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。

6.  找出所有两个变量的多项式P(x, y)使其满足：

P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;

试题详情

1.  三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？

2.  三角形ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是

sin A sin B <= sin²(C/2).

3.  试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：

∑  C(2n+1,2k+1)2^3k，

上式中的求和是k从0到n，符号 C(r,s) 表示二项式系数 r!/(s!(r-s)!)。

4.  沿着一个 8 x 8 象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）。

5.  a,b,c,d是任意实数，判定下式的所有可能值：

a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。

6.  设 P(x) 是一个指数d>0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有 

n <= d + 2.

试题详情

1.  OP₁, OP₂, ... , OP_2n+1 是平面上的单位向量，其中点 P₁, P₂, ... , P_2n+1 都是位于通过点O的一条直线的同一侧，求证

|OP₁ + ... + OP_2n+1| >= 1.

2.  问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。

3.  考虑所有这样的实数a、b使得方程

x⁴ + ax³ + bx² + ax + 1 = 0

至少有一个实根。试找出 a² + b² 的最小值。

4.  一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？

5.  G是具有下述形式且非常值的函数的集合：

f(x) = ax + b，其中a,b,x都是实数。

并且已知G具有这些性质：

?         如果f,g都属于G，则 fg(x) = f(g(x)) 也属于G；

?         如果f属于G，则 f^-1(x) = x/a - b/a 也属于G；

?         对任何f属于G，存在一个实数 x_f 使得 f(x_f) = x_f成立。

求证：存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成立。

6.  a₁, a₂, ... , a_n 是正实数，实数 q 满足0 < q < 1，试求出n格实数 b₁, b₂, ... , b_n 使得：

试题详情

1.有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。

2. 设 n>4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成 n 个圆内接四边形。

3.  m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。

(2m)!(2n)! 

m!n!(m+n)!

4.  试找出下述方程组的所有正实数解：

        (x₁² - x₃x₅)(x₂² - x₃x₅) <= 0
        (x₂² - x₄x₁)(x₃² - x₄x₁) <= 0
        (x₃² - x₅x₂)(x₄² - x₅x₂) <= 0
        (x₄² - x₁x₃)(x₅² - x₁x₃) <= 0
        (x₅² - x₂x₄)(x₁² - x₂x₄) <= 0

5.  f、g都是定义在实数上并取值实数的函数，并且满足方程

f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，

又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| <= 1 。求证对所有x同样有 |g(x)| <= 1 。

6.  给定四个不相同的平行平面，求证存在一个正四面体，它的四个定点分别在这四个平面上。

试题详情

1. 令 E_n = (a₁ - a₂)(a₁ - a₃) ... (a₁ - a_n) + (a₂ - a₁)(a₂ - a₃) ... (a₂ - a_n) + ... + (a_n - a₁)(a_n - a₂) ... (a_n - a_n-1). 求证  E_n >= 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n>2不成立。

2.  凸多边形 P₁ 的顶点是 A₁, A₂, ... , A₉，若将顶点 A₁ 平移至A_i 时则 P₁ 平移成了多边形 P_i ，求证 P₁, P₂, ... , P₉ 之中至少有两个具有一共同内点。

3.  求证能够找到一个由形式 2ⁿ - 3 （n是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。

4. 四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T。求证：

5.  对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满足：对S中的每一个点 A，存在S中的恰好 m 个点与 A的距离为单位长。

6.  设 A = (a_ij),其中 i, j = 1, 2, ... , n，是一个方阵，元素 a_ij 都是非负整数。若 i、j使得a_ij = 0，则第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求证：该方阵中所有元素之和 大于或等于n²/2。

试题详情

1.  M 是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r₁、r₂ 分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q 是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的， q₁、q₂分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证： r₁r₂q = rq₁q_2。

2.  已知0 ≤ x_i < b，i = 0, 1, ... ,n 并且 x_n > 0, x_n-1 > 0。如果 a>b，x_nx_n-1...x₀ 是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则 x_n-1x_n-2...x₀ 表示了 A'在a进制下的表示、B'在b进制下的表示。求证：A'B<AB'。

3.  实数 a₀, a₁, a₂, ...满足 1 = a₀ <= a₁ <= a₂ <= ...，并定义

 b_n =∑(1 - a_k-1/a_k)/√a_k

其中求和是k从1到n。

4.  试找出所有的正整数 n 使得集合 {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} 可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。

5.  四面体ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求证：

(AB + BC + CA)² ≤ 6(AD² + BD² + CD²).

并问何时等号成立？

6.  平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三角形中至多70% 是锐角三角形。

试题详情

1.  对任意正整数 n，求证有无穷多个正整数 m 使得 n⁴ + m 不是质数。

2.  令 f(x) = cos(a₁ + x) + 1/2 cos(a₂ + x) + 1/4 cos(a₃ + x) + ... + 1/2^n-1 cos(a_n + x), 其中 a_i 是实数常量，x是实数变量。现已知 f(x₁) = f(x₂) = 0，求证 x₁ - x₂ 是 π 的整数倍。

3.  对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出 a>0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中 k个边长均为 a，其余 6-k个边的长度均为 1。

4. 以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线的垂足。K₁ 是三角形ABC的内切圆， 圆K₂ 与CD、DA以及半圆都相切，圆K₃ 与CD、DB及半圆相切。求证：圆K₁、 K₂ 、 K₃ 除AB外还有一条公切线。

5. 平面上已给定了 n>4个点，无三点共线。求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。

6.  给定实数x₁, x₂, y₁, y₂, z₁, z₂, 满足 x₁ > 0, x₂ > 0, x₁y₁ > z₁², x₂y₂ > z₂²，求证：

8

≤

1

+

1

(x₁ + x₂)(y₁ + y₂) - (z₁ + z₂)²

x₁y₁ - z₁²

x₂y₂ - z₂²

并给出等号成立的充分必要条件。

试题详情

1.  求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。

2.  试找出所有的正整数 n，其各位数的乘积等于 n² - 10n - 22。

3.  a, b, c 是不全为0的实数。x₁, x₂, ... , x_n 是满足下述方程组的未知数：

     ax_i² + bx_i + c = x_i+1, 对于 i=1,2,...,n-1；

     ax_n² + bx_n + c = x_1；

若设 M= (b - 1)² - 4ac ，求证：

4.  求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。

5.  令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个 a>0及任何 x>0 有

f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)²]

求证 f 是周期函数，并且当 a=1时请给出一个非常值函数的例子。

6.  对任何自然数 n，试计算下式的值

[(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + ... + [(n+2^k)/2^k+1] + ...

其中[x]表示不超过 x 的最大整数。

试题详情

2005 International Mathematical Olympiad

第一天(4.5小时)

1. 等边三角形ABC各边上的六个点A1,A2(∈BC),B1,B2(∈CA),C1,C2(∈AB)构成六边长相等的凸六边形A1A2B1B2C1C2.
求证:三条直线A1B2,B1C2,C1A2交于一点.

2. 整数数列a1,a2,……中有无穷多个正项及无穷多个负项.已知,对每个正整数n,数a1,a2,…,an除以n所得到的余数互不相同.
证明:每个整数在数列a1,a2,……中都出现且只出现一次.

3. x,y,z为正数且xyz≥1.求证:
(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)≥0.

第二天(4.5小时)
4.试求与无穷数列an=2n+3n+6n－1(n≥1)的一切项均互素的所有正整数.

5.取定凸四边形ABCD,其中BC=DA,BC与DA不平行.动点E,F分别在线段BC,DA上且满足BE=DF.直线AC与BD交于P, BD与EF交于Q, EF与AC交于R.求证:当E,F变动时,所有三角形PQR的外接圆周除了P外还有一个公共点.

6.一次数学竞赛共给出6道题.已知,每两题均被多于2/5的选手同时解出,但无一人解出所有6道题.证明:至少有两人各解出5道题.

试题详情

2004IMO(中文版)

1. △ABC 为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N . 记BC中点为

O. ∠BAC和∠MON的角平分线交于R. 求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在

BC边上.

2. 求所有的实系数多项式f，使得对所有满足 ab + bc + ca = 0的实数a, b, c 有

f(a?b) + f(b?c) + f(c?a) = 2f(a + b + c).

3. 定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3 的去掉中心块和一边上连

续的两块，包括由此图经旋转、反射得到的图形）. 定出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形

.

4. 设n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 满足

n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)

证明t_1, t_2, ..., t_n中随便取3个数都能构成一个三角

5. 凸四边形ABCD的对角线BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠

PDC = ∠BDA. 求证：ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP.

6. 称一个正整数为“交替的”，如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同. 求所

有的正整数n，n的某个倍数是交替的.

试题详情