初三数学复习教学案

第5讲 一次方程（组）及应用

【回顾与思考】

【例题经典】

掌握一元一次方程的解法步骤

例1  解方程：x-

  【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，五步进行

掌握二元一次方程组的解法

例2  （2006年枣庄市）已知方程组的解为，求2a-3b的值．

  【点评】将代入原方程组后利用加减法解关于a，b的方程组．

一次方程的应用

例3 （2006年吉林省）据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市，一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水城市有多少座？

  【点评】一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题．

【基础训练】

1．若代数式3a⁴b^2x与0.2a⁴b^3x-1能合并成一项，则x的值是（  ）

A．         B．1        C．        D．0

2．如果2005-200.5=x-20.05，那么x等于（  ）

    A．1814.55     B．1824.55     C．1774.45    D．1784.45

3．（2006年盐城市）已知x=1是一元二次方程x²-2mx+1=0的一个解，则m的值是（  ）

A．1       B．0        C．0或1      D．0或-1

4．（2006年青岛市）某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，最多降低多少元，商店老板才能出售（  ）

A．80元    B．100元    C．120元    D．160元

5．若方程组，那么a，b的值是（  ）

A．a=2，b=1     B．a=1，b=0    C．a=1，b=1     D．a=0，b=0

6．足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（  ）

A．4场     B．5场     C．6场    D．13场

7．（2006年随州市）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题，“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x只，兔为y只，所列方程组正确的是（  ）

A． 

8．（2006年重庆市）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图像可得，关于的二元一次方程组的解是（  ）

A．

9．把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有_____种换法．

【能力提升】

10．解方程：

（1）

11．解方程：

（1）（2006年重庆市）；（2）（2005年朝阳区）

12．（2006年泰州市）扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．

13．（2006年重庆市）农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷．在田间管理和土质相同的条件下，Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号稻谷低20%，但Ⅱ号稻谷的米质好，价格比Ⅰ号高，已知Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克．

    （1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？

    （2）去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷，且进行了相同的田间管理．收获后，小王把稻谷全部卖给国家．卖给国家时，Ⅱ号稻谷的收购价定为2.2元/千克，Ⅰ号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？

14．某酒店客房部有三人间，双人间客房，收费数据如下表：

普通（元/间/天）

豪华（元/间/天）

三人间

     150

     300

双人间

     140

     400

为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？

【应用与探索】

15．（2005年岳阳市）某体育彩票经售商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A，B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元．

    （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；

    （2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？

    （3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案．

答案：

例题经典 

例1：x=1  例2：2a-3b=6  例3：102座

考点精练 

1．B  2．B  3．A  4．C  5．B  6．B  7．B  8．C 

9．六种  10．（1）  （2）x=5 

11．（1）

=2（元） 

（2）设卖给国家的Ⅰ号稻谷x千克，则x（1-20%）×2.2=1.6x+1040，解得x=6500，

所以x+（1-20%）x=1.8x=11700（千克），答：略 

14．三人间8间，两人间13间 

15．解：可设经销商从体彩中心购进A种彩票x张，B种彩票y张，C种彩票z张，

则可分以下三种情况考虑：

（1）只购进A种彩票和B种彩票，依题意可列方程组

解得x<0，所以无解．只购进A种彩票和C种彩票，

依题意可列方程组，

只购进B种彩票和C种彩票，依题可列方程组，综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎．

（2）若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000+0.5×15000=8500（元）；若购进B种彩票与C种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000+0.5×10000=8000（元），∴为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎．

（3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎．设购进A种彩票x扎，B种彩票y扎，C种彩票z扎，

则

∴1≤x<5，

又∵x为正整数，共有4种进票方案，即A种1扎，B种8扎，C种11扎，或A种2扎，B种6扎，C种12扎，或A种3扎，B种4扎，C种13扎，或A种4扎，B种2扎，C种14扎．

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初三数学复习教学案

第四讲 数的开方与二次根式

【回顾与思考】

【例题经典】

理解二次根式的概念和性质

例1 （1）（2006年南通市）式子有意义的x取值范围是________．

    【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负．

   （2）已知a为实数，化简．

    【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0．

掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法

例2（2006年海淀区）下列根式中能与合并的二次根式为（  ）

      A．

   【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题．

掌握二次根式化简求值的方法要领

例3 （2006年长沙市）先化简，再求值:

     若a=4+，b=4-，求．

   【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入．

【基础训练】

1．的平方根为_______，-的立方根为_______．

2．当x_______时，式子+有意义；当x________时，式子+x无意义．

3．（2006年大连市）计算=_________．

4．（2005年上海市）计算-（+2）=_________．

5．（2006年烟台市）若x+=5，则-=______．

6．下列叙述中正确的是（  ）

    A．正数的平方根不可能是负数    B．无限小数都是无理数

    C．实数和实数上的点一一对应    D．带根号的数是无理数

7．（2005年福州市）下列各式中属于最简二次根式的是（  ）

A．

8．（2006年恩施自治州）若4可以合并，则m的值为（  ）

A．

9．（2006年连云港市）能使等式成立的x的取值范围是（  ）

A．x≠2    B．x≥0    C．x>2     D．x≥2

10．（2005年长沙市）小明的作业本上有以下四题：①=4a；②a；③a；④（a≠0），做错的题是（  ）

A．①     B．②     C．③    D．④

11．对于实数a、b，若=b-a，则（  ）

A．a>b      B．a<b     C．a≥b     D．a≤b

12．计算．

【能力提升】

13．（1）若0<x<1，则=_________．

（2）若=x-4+6-x=2，则x的取值范围为__________．

14．（1）（2005年广州市）用计算器计算，…，根据你发现的规律，判断P=（n为大于1的整数）的值的大小关系为（  ）

      A．P<Q      B．P=Q    C．P>Q     D．与n的取值有关

  （2）甲、乙两同学对代数式（a>0，b>0）分别作如下的变形：

       甲：=;

       乙：=.

    这两种变形过程的下列说法中，正确的是（  ）

      A．甲、乙都正确             B．甲、乙都不正确

      C．只有甲正确               D．只有乙正确

  （3）（2006年桂林市）观察下列分母有理化的计算:

  ……，

从计算结果中找出规律利用规律计算:

（+1）=_________．

15．化简式计算:

（1）（2006年锦州市）计算：.

（2）（2005年山东省）已知x=2-，y=2+，

求的值．

【应用与探究】

16．（2006年内江市）对于题目“化简求值：+，其中a=”甲、乙两人的解答不同．

甲的解答是：+=+；

乙的解答是：+=+，

谁的解答是错误的是，为什么？

答案:

例题经典 

例1：（1）x<2  （2）（1-a） 

例2：B 

例3：，值为

考点精练 

1．±2  -  2．x≥-且x≠0，x≤2  3．2a  4．-2 

5．±  6．C  7．A  8．D 9．C  10．D  11．D 

12．-  13．（1）  （2）4≤x≤6 

14．（1）A  （2）D  （3）2006 

15．①-  ②2，值为2 

16．乙解答是错误的，

∵a=，

∴│-a│=-a，而不是a-．

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初三数学复习教学案

第三讲 因式分解与分式

【回顾与思考】

【例题经典】

掌握因式分解的概念及方法

例1  分解因式：

    ①x³-x²=_______________________;

    ②（2006年绵阳市）x²-81=______________________;

    ③（2005年泉州市）x²+2x+1=___________________;

    ④a²-a+=_________________;

    ⑤（2006年湖州市）a³-2a²+a=_____________________.

    【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可.

熟练掌握分式的概念：性质及运算

例2  （1）若分式的值是零，则x=______．

    【点评】分式值为0的条件是：有意义且分子为0．

    （2）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（  ）

      A．x≠-4且x≠-2                B．x=-4或x=2

      C．x=-4                         D．x=2

    （3）如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（  ）

      A．扩大10倍    B．缩小10倍    C．不变    D．扩大2倍

因式分解与分式化简综合应用

例3 （2006年常德市）先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．

  【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义．

【基础训练】

1．（2006年嘉兴市）一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为做得不够完整的一题是（  ）

    A．x³-x=x（x²-1）               B．x²-2xy+y²=（x-y）²

C．x²y-xy²=xy（x-y）            D．x²-y²=（x-y）（x+y）

2．下列各式能分解因式的个数是（  ）

    ①x²-3xy+9y²     ②x²-y²-2xy     ③-a²-b²-2ab

    ④-x²-16y²       ⑤-a²+9b²       ⑥4x²-2xy+y²

A．5个       B．4个        C．3个       D．2个

3．（2006年诸暨市）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是（  ）

A．米     B．（+1）米    C．（+1）米     D．（+1）米

4．若x-=7，则x²+的值是（  ）

A．49      B．48     C．47      D．51

5.（2006年黄冈市）计算:的结果为（  ）

A．1      B．

6．已知两个分式：A=，其中x≠±2，则A与B的关系是（  ）

A．相等     B．互为倒数    C．互为相反数   D．A大于B

7．将a³-a分解因式，结果为________．

8．分解因式2x²+4x+2=________________．

9．（2006年盐城市）函数y=中，自变量x的取值范围是________．

10．化简：?（x²-9）.

【能力提升】

11．分解因式：

（1）（2006年成都市）a³+ab²-2a²b;

  （2）（2006年怀化市）已知a=2006x+2007，b=2006x+2006，c=2006x+2005．

求2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac的值．

12．化简：.

13．（2006年莆田市）化简求值：，其中a=．

14．（2006年长沙市）先化简再求值：，其中a满足a²-a=0．

15．（2006年扬州市）先化简（1+，然后请你给a选取一个合适的值，代入求值．

【应用与探究】

16．（2005年绍兴市）已知P=，Q=（x+y）²-2y（x+y），小敏、小聪两人在x=2-y=-1的条件下分别计算了P和Q的值．小敏说P的值比Q大，小聪说Q的值比P大．请你判断谁的结论正确，并说明理由．

答案:

例题经典 

例1：（1）x²（x-1）  （2）（x+9）（x-9） 

（3）（x+1）²   （4）（a-）²  （5）a（a-1）² 

例2：（1）x=  （2）D  （3）C 

例3：化简结果为x²+1

考点精练 

1．A  2．C  3．B  4．D  5．A  6．C 

7．a（a+1）（a-1）  8．2（x+1）²  9．x≠1的全体实数 

10．x+3  11．（1）a（a-b）²  （2）（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=6 

12．-=  

14．a²-a-2=-2 

15．化简结果a+2，a不能取值±2 

16．解：∵P===x+y，

∴当x=2，y=-1时，P=1，∴当Q=（x+y）²-2y（x+y）=x²-y²，

∴当x=2，y=-1时，Q=3，∴P<Q，∴小聪的结论正确．

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初三数学复习教学案

第二讲 整式

【回顾与思考】

【例题经典】

幂的运算性质

例1（1）a^m?aⁿ=_______（m，n都是正整数）；

    （2）a^m÷aⁿ=________（a≠0，m，n都是正整数，且m>n），特别地：a⁰=1（a≠0），a^-p=（a≠0，p是正整数）；

    （3）（a^m）ⁿ=______（m，n都是正整数）；

    （4）（ab）ⁿ=________（n是正整数）

    （5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________．

    （6）完全平方公式：（a±b）²=__________．

    【点评】能够熟练掌握公式进行运算.

同类项的概念

例2  若单项式2a^m+2nb^n-2m+2与a⁵b⁷是同类项，求n^m的值．

    【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得 解出即可

整式的化简与运算

例3  （2006年江苏省）先化简，再求值：

    [（x-y）²+（x+y）（x-y）]÷2x其中x=3，y=-1．5．

    【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确．

【基础训练】

1．下列运算正确的是（  ）

A．a⁵?a³=a¹⁵     B．a⁵-a³=a²     C．（-a⁵）²=a¹⁰     D．a⁶÷a³=a²

2．（2006年黄冈市）下列运算正确的是（  ）

    A．2x⁵-3x³=-x²                B．2+2=2

C．（-x）⁵?（-x²）=-x¹⁰      D.（3a⁶x³-9ax⁵）÷（-3ax³）=3x²-a⁵

3．随着新农村建设的进一步加快，湖州市农村居民人均纯收入增长迅速．据统计，2005年本市农村居民纯收入比上一年增长14.2%，若2004年湖州市农村居民纯收入为a元，则2005年农村居民人均纯收入可表示为（  ）

A．14.2a元   B．1.42a元   C．1.142a元   D．0.142a元

4．（2006年成都市）已知代数式x^a-1y³与-3x^-by^2a+b是同类项，那么a、b的值分别是（  ）

A．

5．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（  ）

    A．a²-b²=（a+b）（a-b）         B.（a-b）²=a²-2ab+b²

C.（a+b）²=a²+2ab+b²            D．a²+ab=a（a+b）

6．全国中小学危房改造工程实施五年来，已改造农村中小学危房7800万平方米，如果按一幢教学楼的总面积是750平方米计算，那么该项改造工程共修建教学楼大约有（  ）

A．10幢     B．10万幢     C．20万幢    D．100万幢

7．已知x-y=2，则x²-2xy+y²=_________．

8．（2005年兰州市）某公司成立3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的200万元，增长到800万元，则平均每年增长的百分数是_________．

9．将连续的自然数1至36按右图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a，用含有a的代数式表示这9个数的和为__________．

10．用火柴棒按下图中的方式搭图形．

    （1）按图示规律填空：

（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要_________根火柴棒．

【能力提升】

11．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）²的值为（  ）

A．13     B．19     C．25     D．169

12．先化简，再求值:5x²-（3y²+5x²）+（4y²+7xy）,其中x=-1，y=1-．

13．（2006年常德市）右边是一个有规律排列的数表，请用含n的代数式（n为正整数），表示数表中第n行第n列的数：______________．

14．（2005年广东省）如图，某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形长为a米，宽为b米．

    （1）请用代数式表示空地的面积．

（2）若长方形长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（结果保留准确值）．

【应用与探究】

15．（2006年泉州市）某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，第一排都比前一排增加b个座位．

    （1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：

第1排的

 座位数

第2排的

 座位数

第3排的

 座位数

第4排的

 座位数

   a

  a+b

  a+2b

    （2）已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？

答案:

例题经典 

例1：（1）a^m+n  （2）a^m-n  （3）a^mn  

（4）aⁿbⁿ  （5）a²-b²  （6）a²±2ab+b²  

例2：先求出n=3，m=-1则n^m= 

例3：x-y=4.5

考点精练：

1．C  2．D  3．C  4．A  5．A  6．B 

7．4  8．100%  9．9a 

10．（1）

（1）

（2）

（3）

 5

  9

 13

（4）4n+1  11．C  12．5-4 

13．n²-（n-1） 

14.（1）（ab-r²）米² 

（2）（60000-100）米²  

15.（1）a+3b  （2）52个.

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第三节  梯形

【回顾与思考】

【例题经典】

与梯形有关的计算

例1．（2005年海南省）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC的长．

    【分析】在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到三角形中去，从而为解题创造必要的条件．

等腰梯形的判定

例2．（2005年南通市）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD于F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．

    （1）求证：四边形ABFE为等腰梯形；

（2）求AE的长．

    【分析】采用“阶梯”方法解决（1），先说明四边形ABFE为梯形，再说明AE=BF，作DG⊥AB于G，利用CD=AB解决AE=BF．（2）问要利用Rt△BCF∽Rt△ABF，求出AF长，再用BF²=CF?AF，即可求出BF长，进而得到AE长．

梯形性质的综合应用

例3．（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．

   【解析】△ADE是等边三角形．

    理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，

    ∵∠B=∠C．

    ∴E为BC的中点，

    ∵BE=CE．

    在△ABE和△DCE中，

    ∵

    ∴△ABE≌△DCE．

    ∵AE=DE．

    ∴AD∥BC，DE∥AB，

    ∴四边形ABCD为平行四边形．

    ∴AB=DE

    ∵AB=AD，

    ∴AD=AE=DE．

    ∴△ADE为等边三角形．

【考点精练】

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第二节  矩形、菱形、正方形

【回顾与思考】

【例题经典】

会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形

例1．（2005年黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF为菱形．

    【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．

矩形、菱形的综合应用

例2．（2006年青岛市）如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

    【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形

    ∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．

    ∵点E、F分别是AB、CD的中点，

    ∴AE=AB，CF=CD．

    ∴AE=CF．

    ∴△ADE≌△CBF．

    （2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．

    ∵四边形ABCD是平行四边形，

    ∴AD∥BC．

    ∵AG∥BD，

    ∴四边形AGBD是平行四边形．

    ∵四边形BEDF是菱形，

    ∴DE=BE．

    ∵AE=BE，

    ∴AE=BE=DE．

    ∴∠1=∠2，∠3=∠4．

    ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

    ∴2∠2+2∠3=180°．

    ∴∠2+∠3=90°．

    即∠ADB=90°，

    ∴四边形AGBD是矩形．

会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题

例3．（2005年吉林省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．

  （1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．

    【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．

【考点精练】

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第四节 直角三角形

【回顾与思考】

    直角三角形

【例题经典】

直角三角形两锐角互余

例1．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=______．

    【分析】∠ABC与∠DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解．

【解答】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，

∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填90°．

    【点评】此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题．

特殊直角三角形的性质、勾股定理的应用

例2．（2006年包头市）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．

  （1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．

【解析】（1）要求该车从A点到B点的速度．只需求出AB的距离，

在△OAC中，OC=25米．∵∠OAC=90°-60°=30°，∴OA=2CO=50米

    由勾股定理得CA==25（米）

    在△OBC中,∠BOC=30°

    ∴BC=OB.

    ∴（2BC）²=BC²+25²

    ∴BC=（米）

    ∴AB=AC-BC=25-=（米）

    ∴从A到B的速度为÷1.5=（米/秒）

    （2）米/秒≈69.3千米/时

    ∵69.3千米/时<70千米/时

    ∴该车没有超过限速．

    【点评】此题应用了直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用．

勾股定理的逆定理的应用

例3．如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．

    简析：此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征，可以根据勾股定理的逆定理“有两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三角形，答案如下图．

【考点精练】

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第五章  四边形

第一节  多边形与平行四边形

【回顾与思考】

【例题经典】

利用平行四边形的性质求面积

例1．（2006年河南省）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S_△ABF=S_ABCD．

    【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．

    ∵E是DC的中点，∴DE=CE．

    ∴△AED≌△FEC．

    ∴S_△AED =S_△FEC．

    ∴S_△ABF =S_{四边形ABCE}+S_△CEF =S_{四边形ABCE}+S_△AED =S_ABCD

会根据条件选择适当方法判定平行四边形

例2．（2005年山东省）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（  ）

A．OE=OF     B．DE=BF     C．∠ADE=∠CBF    D．∠ABE=∠CDF

    【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．

能利用平行四边形的性质进行计算

例3．（2005年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______．

    【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO+BO=9，再求得AC+BD=18．

【考点精练】

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初三数学复习教学案

第一讲  实数

【回顾与思考】

【例题经典】

理解实数的有关概念

例1 ①a的相反数是-,则a的倒数是_______．

②实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:

      则化简│b-a│+=______．

③（2006年泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．

【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．

掌握实数的分类

例2  下列实数、sin60°、、（）⁰、3.14159、-、（-）^-2、中无理数有（  ）个

     A．1      B．2        C．3       D．4

【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．

快速准确地进行实数运算

例3 （2006年成都市）计算：-+（-2）²×（-1）⁰-│-│．

    【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。

【基础训练】

1．下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数，其中正确的是（  ）

A．①②③    B．②③④    C．①②④    D．②④

2．（2005年长沙市）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示,下列结论正确的是（  ）

A．a>b     B．ab<0     C．b-a>0     D．a+b>0

3．（2006年芜湖市）三峡工程是世界防洪效益最为显著的水利工程,它能有效控制长江上游洪水，增强长江中下游抗洪能力,据相关报道三峡水库的防洪库容22150000000m³，用科学计数法可记作（  ）

    A．221.5×10⁸m³        B．22.15×10⁹m³

C．2.215×10¹⁰m³       D．2215×10⁷m³

4．9的相反数的倒数是（  ）

A．-9      B．       C．9       D．-

5．（2005年武汉市）如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60度时，其影长AC约为（取1.732，结果保留3个有效数字）

A．5.00米     B．8.66米     C．17.3米     D．5.77米

6．（2006年常德市）下列计算正确的是（  ）

A．=±4     B．3-2=1    C．24÷=4    D．?=2

7．（2006年南通市）一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要_________元．

8．（2006湖州市）青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点A，则所构成的封闭图形的面积的最大值是________．

9．图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．

【能力提升】

10．计算：│-12│÷（-+--）;

11．若a、b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a²-b²+（cd）^-1÷（1-2m+m²）的值．

12．数a，b在数轴上的位置如图所示: 化简.

13．（2006年临安市）已知：2+=2²×，3+=3²×，4+

，…，若10+=10²×符合前面式子的规律，则a+b=________．

14．（2006年江阴市）将正偶数按下表排列：

           第1列  第2列  第3列  第4列

    第1列    2

    第2列    4      6

    第3列    8     10      12

    第4列   14     16      18     20

    ……

根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．

应用与探究

15．（2005年辽宁省）在数学活动中，小明为了求+的值（结果用n表示）,设计如图（1）所示的几何图形．

    （1）请你利用这个几何图形求+ 的值为_______．

    （2）请你利用图（2）再设计一个能求+的值的几何图形．

                                        (1)                        (2)

【答案】

例题经典  例1：（1）5  （2）2a-2b  （3）1.02×10⁷  例2：C  例3：1-2

考点精练  1．C  2．A  3．C  4．D  5．D  6．D  7．3m+5n  8．10  9．2⁹（512）  10．-  11．1或  12．-b  13．109  14．第45行第13列 

15．（1）1-

    (2)

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第三节 等腰三角形

【回顾与思考】

    等腰三角形

【例题经典】

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？

    若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，

根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，

即可得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=90°+∠A；

∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=120°+∠A；

∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=?180°+∠A．

    【点评】在例1图中，若AE=AB，AD=AC．类似上题方法同样可证得BD=CE．上述规律仍然存在．

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

    【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

    （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

    【分析】（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．

    【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．

【考点精练】

试题详情