1. 设A是集合S={1, 2, 3, ..., 1000000}的一个101元子集，求证： 存在S中的100个元素T₁ ,T₂ ,...,T₁₀₀ 使得集合

A_j={X+T_j | X 属于 A} （j=1,2,...,100）

是两两不交的。

2. 求所有的正整数对(a,b)，使得 a²/(2ab²-b³+1)也为整数。

3. 一凸六边形，任意一组对边中点的连线是这组对边长度之和的√3/2 倍，求证这个六边行的
每个内角都是120^o。

4. 圆内接四边形ABCD，从D向分别边BC,CA,AB引垂线，垂足分别为P，Q，R。求证：
PQ=QR当且仅当∠ABC、∠ADC的角平分线及AC三线共点。

5. 设n是一个正整数，x₁,x₂,...,x_n是实数并且x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n,求证：

6. 设p是一个素数，求证存在一个素数q使得对每个整数n，n^p-p不能被q整除。

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1. 设n是给定的正整数，T是一个集合，其元素是平面上满足x,y是非负整数且x+y<n的点(x,y)。T中的点均被染上红色或蓝色，满足：如果(x,y)是红色，则所有满足x'≤x且y'≤y的点(x',y')也都染成红色。如果n个蓝点的横坐标各不相同，则称由这n个蓝点组成的集合为一个X-集；如果n个蓝点的纵坐标各不相同，则称这n个蓝点所组成的集合为Y-集。

求证：X-集的个数和Y-集的个数相同。

2. BC为圆O的直径，A为⊙O上的一点，0^o<∠AOB <120^o, D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平行于DA的直线交AC 于I，OA的垂直平分线交⊙O于E、F，

求证：I是△CEF的内心。

3. 找出所有的正整数对m,n≥3，是的存在无穷多个正整数a，使(a^m +a-1)/(aⁿ +a²-1)为整数。

4. 设n为大于1的整数，全部正因数为d₁,d₂,...,d_k， 其中1=d₁ < d₂ < ... < d_k=n，

记D=d₁d₂+d₂d₃+...+d_k-1d_k。

5. 找出所有从实数集R到R的函数f，使得对所有x,y,z∈R，有

(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。

6. 设Γ₁，Γ₂，...,Γ_n是平面上半径为1的圆，其中n≥3，记他们的圆心分别为O₁,O₂,...,O_n。假设任意一条直线都至多和两个圆相交或相切，

求证：

∑_i<j 1/O_iO_j ≤ (n-1)π/4 。

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1. △ABC是锐角三角形，其外接圆的圆心是O。X是从A到BC边上垂线的垂足。
已知∠C≥∠B+30^o，

求证：∠A+∠COX<90^o。

2. a,b,c是正实数，设a' = √(a² + 8bc), b' = √(b² + 8ca), c' = √(c² + 8ab)，

求证： a/a' + b/b' + c/c' ≥ 1。

3. 由整数组成的一个21×21的矩阵，其每行每列都至多有6个不同的整数。

求证，存在某个整数出现在至少3行和3列中。

4. 设n₁,n₂,...,n_m是整数，其中m是奇数。x=(x₁,x₂,...,x_m)是1,2,...,m的一个排列，

f(x)=x₁n₁+x₂n₂+...+x_mn_m， 

求证，存在两个不同的排列a,b使得f(a)-f(b)能被m!整除。

5. △ABC，X在BC上且AX是∠A的角平分线，BY是∠B的角平分线，Y在CA上。已知∠A=60^o， AB+BX=AY+YB，试求出所有∠B可能的值。

6. K>L>M>N是正整数且KM+LN=(K+L-M+N)(-K+L+M+N)。

求证KL+MN是合数。

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1. 圆Γ₁和圆Γ₂相交于点M和N。设l是圆Γ₁和圆Γ₂的两条公切线中距离M较近的那条公切线。l与圆Γ₁相切于点A，与圆Γ₂相切于点B。设经过点M且与l平行的直线与圆Γ₁还相交于点C，与圆Γ₂还相交于点D。直线CA和DB相交于点E；直线AN和CD相交于点P；直线BN和CD相交于点Q。

求证：EP=EQ。

2. 设a,b,c是正实数，且满足abc=1。求证：

(a- 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≤ 1。

3. 设n≥2为正整数。开始时，在一条直线上有n只跳蚤，且它们不全在同一点。
对任意给定的一个正实数λ，可以定义如下的一种“移动”：

试确定所有可能的正实数λ， 使得对于直线上任意给定的点M以及这n只跳蚤的任意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于M的右边。

4. 一位魔术师有一百张卡片，分别写有数字1到100. 他把这一百张卡片放入三个盒子里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色的。 每个盒子里至少都放入了一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选取一张卡片， 然后宣布这两张卡片上的数字之和。知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子。 

问共有多少种放卡片的方法，使得魔术总能够成功？（两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子）

5. 确定是否存在满足下列条件的正整数n：n恰好能够被2000个互不相同的质数整除，且2n+1能够被n整除。

6. 设AH₁,BH₂,CH₃是锐角三角形ABC的三条高线。 三角形ABC的内切圆与边BC, CA, AB分别相切于点T₁, T₂, T₃，设直线l₁,l₂,l₃分别是直线H₂H₃, H₃H₁, H₁H₂关于直线T₂T₃, T₃ T₁, T₁T₂的对称直线。
求证：l₁,l₂,l₃所确定的三角形，其顶点都在三角形ABC的内切圆上。

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1. 试找出所有这样的有限集S：S至少包括平面上的3个点；对任何两个S中不同的点A,B，
AB的垂直平分线是S的一个对称轴。

2. 设n ≥ 2是一个给定的整数，是找出最小的常量C使得对于所有非负实数x₁, ... , x_n如下不等式成立：

∑_i<j x_i x_j (x_i² + x_j²) ≤ C ( ∑ x_i )⁴。

并判断何时等号成立。

3. 给定一个n×n的棋盘，n是偶数。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说他们是相邻的，但同一个方格不认为与它自身相邻。试找出最小数目的方格，使得当它们被标记之后，棋盘上每一个方格都至少与一个标记过的方格相邻。

4. 试找出所有的正整数对(n,p)，使得p是素数，n ≤ 2p并且(p-1)ⁿ+1可被n^p-1整除。

5. 圆Γ有两个内切圆Γ₁ ,Γ₂，切点分别是M,N，Γ₁经过Γ₂的圆心。
Γ₁,Γ₂的公共弦的延长线交Γ于A,B两点。线MA,MB分别交Γ₁分别于E,F。
求证：EF于Γ₂相切。

6. 试找出所有的函数f:R → R使得f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1对所有x,y ∈ R都成立。

其中R表示实数集。

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1.  设a、b是常数，解方程组

x + y + z = a;     x² + y² + z² = b²;     xy=z²

并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？

2.  设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：

a² + b² + c² >= 4√3 A.

并求出等号何时成立。　

3.  解方程 cosⁿx - sinⁿx = 1, 其中n是一个自然数。

4.  P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

5.  作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是

b tan(a/2) <= c < b.

又问上式何时等号成立。

6. 三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？

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1. 凸四边形ABCD，对交线AC,BD互相垂直，对边AB,DC不平行，AB和DC的垂直平分线相交于
P点，P在ABCD的内部。

求证ABCD是圆内接四边形当且仅当三角形ABP、CDP的面积相等。

2. 在一次竞赛中有a个参赛者和b个裁判，b≥3是一个奇数。每个裁判可以给参赛者判“合格”或者
“不合格”，假设任何两个裁判对至多k个参赛者的判决相同，
求证：k/a  ≥  (b-1)/2b.

3. 对任何正整数n，用d(n)表示n的正因数（包括1,n）的个数。
试求出所有正整数k使存在n满足 d(n²)=kd(n).

4. 试找出所有的正整数对(a,b)使得ab²+b+7能整除a²b+a+b。

5. 设I是三角形 ABC的内心，三角形 ABC的内切圆在边BC,CA,AB上的切点分别是K,L,M。
通过B点平行于MK的直线交LM,LK分别于R,S。

求证：三角形 RIS是锐交三角形。

6. 考虑所有从正整数到正整数的函数f使之对于所有的s、t满足f(t²f(s))=sf(t)²。
试求出f(1998)的最小的可能值。

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1. 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点。这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）。对于任意一对正整数m和n，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m和n，且其两腰都在这些正方格的边上。 设S₁为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S₂则为所有白色部分的总面积。 令f(m,n)=|S₁-S₂|，

2. 设∠A是△ABC中最小的?角。B和C将此三角形的外接圆分成两个弧。U为落在不含A点的弧上且异于B,C的一点。线段AB,AC的垂直平分线分别交AU于V,W。
直线BV, CW相交于T，

求证：AU＝TB＋TC。

3. x₁,x₂,...,x_n是正实数满足|x₁+x₂+...x_n|=1 且对所有i有|x_i|≤(n+1)/2。

试证明存在x₁,x₂,...,x_n的一个 排列y₁,y₂,...,y_n满足

|y₁+2y₂+...+ny_n|≤(n+1)/2。 

4. 一个n×n的矩阵称为一个n阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1,2,...,2n-1}且对于每一个i=1,2，...,n，它的第i列与第i行中的所有元素合起来恰好是S中的所有元素。求证：

5. 试找出所有的正整数对(a,b)满足

a

b²

=

b

a

6. 对每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n的上述不同表示法的个数。如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的。例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1。

求证：对于任意整数n≥3，  

2

n²/4

< f(2ⁿ)<

2

n²/2

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1. ABCD是一个长宽分别是AB=20,BC=12的长方形板。将此长方形板分割为20×12个格子状的单位小方格，r为一给定的正整数，一个铜币在此板上每移动一次的规则为：铜币可从一个小方格内移动到另一个小方格内的充分必要条件是这两个小方格的中点间的距离为√r。现目标是把一个在含顶点A的小方格内的铜币经过若干次移动后到达含顶点B的小方格内。

2. P为△ABC内一点且∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC，设D,E分别是∠APB,∠APC的内心，

求证：AP,BD,CE三线共点。

3. S={0,1,2,3,...}为所有非负整数所成的集合，试找出所有由S对应到S本身的函数f且对m,n∈S 有f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)。

4. 正整数a,b使得15a+16b和16a-15b都是完全平方数，试求出最小的可表示成这两个完全平方数之一的可能值。

5. ABCDEF是凸六边形，AB平行于ED，BC平行于FE，CD平行于AF。 令R_A,R_C,R_E分别表示△FAB,△BCD,△DEF的外接圆的半径，并以p表示该六边形的周长。

求证：R_A+R_C+R_E≥p/2。

6. n,p,q都是正整数且n>p+q，令x₀,x₁,x_n都是整数，x₀=x_n=0且对每个1≤i≤n，x_i-x_i-1=p或q。 

求证存在下标i<j且(i,j)≠(0,n)满足x_i=x_j。

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1. A,B,C,D是一条直线上顺序排列的四个不同点，分别以AC,BD为直径的两个圆相交于X,Y，直线XY交BC于Z， 设P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C,M； 直线BP与以BD为直径的圆相交于B,N。求证：AM,DN,XY三线共点。

2. a,b,c为正实数且abc=1，试证：

1

+

1

+

1

≥

3

a³(b+c)

b³(c+a)

c³(a+b)

2

3. 试确定所有整数n>3，使得在平面上存在n个点A₁,A₂， ...,A_n（无三点共线）及n个实数r₁,r₂,...,r_n满足 △A_iA_jA_k的面积是r_i+r_j+r_k， 其中是对每个三元组1≤i<j<k≤n。

4. 正实数序列x₀,x₁,...,x₁₉₉₅满足条件 x₀=x₁₉₉₅且对于i=1,2,...,1995有x_i-1+2/x_i-1=2x_i +1/x_i.
试求出所有满足上述条件的数列中x₀的最大值。

5. 设ABCDEF是凸六边形，满足AB=BC=CD, DE=EF=FA，∠BCD=∠EFA=60^o。 设G,H是这六边形内部两点使得∠AGB=∠DHE=120^o，

求证 AG+GB+GH+DH+HE≥CF。

6. p是一个奇质数，试求出集合{1,2,...,2p}的所有p元子集A的个数满足A中元素之和能被p整除。

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