第二节  三角形的概念和全等三角形

【回顾与思考】

  三角形

【例题经典】

三角形内角和定理的证明

例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．

    点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．

探索三角形全等的条件

例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：

    ①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．

其中正确的结论是_________．

解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF

可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．

∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．

依此类推得①、②、③

    点评：注意已知条件与隐含条件相结合．

全等三角形的应用

例3．（2006年重庆市）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．

求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．

   【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．

    （2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．

    【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．

【考点精练】

试题详情

第四章  三角形

第一节 几何初步及平行线、相交线

【回顾与思考】

【例题经典】

角的计算

例1．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_________．

    解析：这类题是近几年中考的常见题型，主要考查学生对问题的转化思想及分析、解决问题的能力．通过观察图形，可作出一条辅助线，从而把问题化难为易．

    点评：适当添加辅助线是解决几何问题的重要手段，有时方法不唯一，可引导学生多方面、多角度去思考．

【平行线的应用】

例2．如图所示，下列条件中，不能判断L₁∥L₂的是（  ）

A．∠1=∠2     B．∠2=∠3   

C．∠4=∠5    D．∠2+∠4=180°

    分析：根据平行线的判定或性质，不难得到：∠2=∠3不能判断L₁∥L₂．

    点评：这类问题可由选项出发找结论，也可由结论出发找选项．

根据条件求线段长度或长度比

例3．（1）数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（  ）

         A．a-b     B．a+b    C．│a-b│    D．│a+b│

    （2）已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（  ）

        A．3：4    B．2：3    C．3：5    D．1：2

    分析：本类题目做时注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值．

    点评：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷．根据条件求线段长度或长度比可引导学生从不同的途径分析解答．

【考点精练】

试题详情

第七节  函数的综合应用

【回顾与思考】

    函数应用

【例题经典】

一次函数与反比例函数的综合应用

例1 （2006年南充市）已知点A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．

    【点评】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功．

一次函数与二次函数的综合应用

例2  （2005年海门市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．

    （1）求y与x的函数关系式；

    （2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？

（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？

    【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象经过点（4，400）、（5，320）可确定y与x关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣．

二次函数与图象信息类有关的实际应用问题

例3  一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价y₁与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植成本y₂与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．

    （1）求出图（a）中表示的市场售价y₁与上市时间x的函数关系式．

    （2）求出图（b）中表示的种植成本y₂与上市时间x的函数关系式．

    （3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？

（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）

    【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、读图．从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键．

【考点精练】

基础训练

1．在函数y=，y=x+5，y=x²的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点的有（  ）

    A．0个     B．1个     C．2个     D．3个

2．下列四个函数中，y随x的增大而减少的是（  ）

    A．y=2x     B．y=-2x+5    C．y=-     D．y=-x²-2x-1

3．函数y=ax²-a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（  ）

4．函数y=kx-2与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（  ）

5．如图是二次函数y₁=ax²+bx+c和一次函数y₂=mx+n的图象，观察图象写出y₂≥y₁时，x的取值范围__________．

                   (第5题)                       (第6题)

6．（2006年旅顺口）如图是一次函数y₁=kx+b和反比例函数y₂=的图象，观察图象写出y₁>y₂时，x的取值范围是_________．

7．（2005年十堰市）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k，y=（k>0）的图像大致是（  ）

8．（2005年太原市）在反比例函数y=中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=kx²+2kx的图像大致是（  ）

能力提升

9．如图，已知反比例函数y₁=（m≠0）的图象经过点A（-2，1），一次函数y₂=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．

    （1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标．

10．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，-4）．

    （1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

11．（2005年扬州市）近几年，扬州市先后获得“中国优秀旅游城市”和“全国生态建设示范城市”等十多个殊荣．到扬州观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价40元，现设浮动票价为x元，且40≤x≤70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系．

    （1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；

    （2）设该景点一天的门票收入为w元

       ①试用x的代数式表示w；

②试问：当票价定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？

12．（2006年荆门市）某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品．已知每件产品的进价为40元．经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系．每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销售量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．

    （1）求y关于x的函数关系．

    （2）试写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价z（元）的函数关系式（年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额）当销售单价为x为何值，年获利最大？最大值是多少？

（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下使产品的销售量最大，你认为销售单价应为多少元？

应用与探究

13．（2006年潍坊市）为保证交通完全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．下表是某款车在平坦道路上路况良好刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：

行驶速度（千米/时）

40

60

80

…

   停止距离（米）

16

30

48

…

    （1）设汽车刹车后的停止距离y（米）是关于汽车行驶速度x（千米/时）的函数．给出以下三个函数①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax²+bx，请选择恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度x（千米/时）的关系，说明选择理由,并求出符合要求的函数的解析式；

    （2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．

答案:

例题经典 

例1：解：设直线AB的解析式为y=k₁x+b，则 解得k₁=-2，b=-6．

所以直线AB的解析式为y=-2x-6．

∵点C（m，2）在直线y=-2x-6上，∴-2m-6=2，

∴m=-4，即点C的坐标为C（-4，2），

由于A（0，6），B（-3，0）都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经过点C（-4，2），设经过点C的反比例函数的解析式为y=．则2=，

∴k₂=-8．即经过点C的反比例函数的解析式为y=-．

例2：（1）设y=kx+b，∵x=4时，y=400；x=5时，y=320，

∴ 

∴y与x的函数关系式为y=-80x+720．

（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元），

当y=380时，380=-80x+720，得x=4.25．

该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395（元），

显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．

（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，

则W=xy=x（-80x+720）=-80（x-）²+1620．

∴当x=时，W_最大值=1620．要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，

则50a≥W_最大值+780，即50a≥1620+780．解之得，a≥48．

所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，

由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．

例3：（1）设y₁=mx+n，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），

∴  解得：m=-，n=5.1，

∴y₁=-x+5.1（0≤x≤50）．

（2）又由题目已知条件可设y₂=a（x-25）²+2．因其图象过点（15，3），

∴3=a（15-25）²+2，∴a=，

∴y₂=x²-x+（或y=（x-25）²+2）（0≤x≤50）

（3）第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y₁-y₂=（x²-44x+315（0≤x≤55）．

依题意：y₁-y₂=0，即x²-44x+315=0，∴（x-9）（x-35）=0，解得：x₁=9，x₂=25．

所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱．

考点精练

1．B  2．B  3．A  4．B  5．-2≤x≤1  6．x>3或-2<x<0  7．D  8．D

9．（1）反比例函数解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+3．

（2）点B的坐标为B（-1，2）

10．（1）反比例函数解析式为y=-，一次函数为y=-2x-3．

（2）S_△AOB=个平方单位．

11．（1）设函数解析式为y=kx+b，由图象知：直线经过（50，3500），（60，3000）两点．

则，

∴函数解析式为y=6000-50x．

（2）①w=xy=x（6000-50x），即w=-50x²+6000x．

②w=-50x²+6000x=-50（x²-120x）=-50（x-60）²+180000，

∴当票价定为60元时，该景点门票收入最高，此时门票收入为180000元．

12．（1）由题意，设y=kx+b，图象过点（70，5），（90，3），

∴ ∴y=-x+12．

（2）由题意，得w=y（x-40）-z=y（x-40）-（10y+42.5）

=（-+12）（x-40）-10×（-x+12）-42.5

=-0.1x²+17x-642.5=-（x-85）²+80．

当x=85时，年获利的最大值为80万元．

（3）令w=57.5，得-0.1x²+17x-642.5=57.5，

整理，得x²-170x+7000=0．解得x₁=70，x₂=100．

由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价为70元到100元之间．

又因为销售单位越低，销售量越大，

所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元．

13．解：（1）若选择y=ax+b，

把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得，

而把x=80代入y=0.7x-12得y=44<48，所以选择y=ax+b不恰当；

若选择y=（k≠0），由x，y对应值表看出y随x的增大而增大．

而y=（k≠0）在第一象限y随x的增大而减小，

所以不恰当；若选择y=ax²+bx，

把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得 ，而把x=80代入y=0.005x²+0.2x得y=48成立．

所以选择y=ax²+bx恰当，解析式为y=0.005x²+0.2．

（2）把y=70代入y=0.005x²+0.2x得70=0.005x²+0.2x，

即x²+40x-14000=0，解得x=100或x=-140（舍去），

所以，当停止距离为70米，汽车行驶速度为100千米/时．

试题详情

第六节  二次函数的应用

【回顾与思考】

    二次函数应用

【例题经典】

用二次函数解决最值问题

例1  （2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

    【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2  某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

15

20

30

…

y（件）

25

20

10

…

    若日销售量y是销售价x的一次函数．

    （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

    （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

    【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．

    （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

         w=（x-10）（40-x）=-x²+50x-400=-（x-25）²+225．

    产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

    【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

【考点精练】

1．二次函数y=x²+x-1，当x=______时，y有最_____值，这个值是________．

2．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V₀（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V₀t-gt²（其中g是常数，通常取10m/s²），若V₀=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面________m．

3．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=V²确定；雨天行驶时，这一公式为S=V²．如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米．

4．（2006年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

5．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

销售价x（元/千克）

…

 25

 24

 23

 22

…

销售量y（千克）

…

2000

2500

3000

3500

…

    （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？

6．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如下图所示的一次函数关系式．

    （1）试求出y与x的函数关系式；

    （2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出答案）．

7．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．

    （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

    （2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

8．（2006年泉州市）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．

 （1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；

 （2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．

    ①求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；

    ②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3.14，结果精确到0.1米）

答案:

例题经典 

例1：解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）

易知CN=4-x，EM=4-y．且有（作辅助线构造相似三角形），即=，∴y=-x+5，S=xy=-x²+5x（2≤x≤4），

此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5，

∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，

对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值S_最大=-×4²+5×4=12．

考点精练 

1．-1，小，-  2．7  3．36

4．解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD，∴，

∵AB=2AD，MN=x，∴MF=2x，∴EM=EF-MF=10-2x，

∴S=x（10-2x）=-2x²+10x=-2（x-）²+，

∴当x=时，S有最大值为．

5．解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，

∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，

∴ ，

∴y=-500x+14500．

（2）P=（x-13）?y=（x-13）?（-500x+14500）

=-500x²+21000x-188500=-500（x-21）²+32000，

∴P与x的函数关系式为P=-500x²+21000x-188500，

当销售价为21元/千克时，能获得最大利润．

6．解：（1）设y=kx+b由图象可知，，

∴y=-20x+1000（30≤x≤50） 

（2）P=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x²+1400x-20000．

∵a=-20<0，∴P有最大值．

当x=-=35时，P_最大值=4500．

即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

（3）31≤x≤34或36≤x≤39．

7．解：（1）M（12，0），P（6，6）． 

（2）设这条抛物线的函数解析式为：y=a（x-6）²+6，

∵抛物线过O（0，0），∴a（0-6）²+6=0，解得a=，

∴这条抛物线的函数解析式为y=-（x-6）²+6，即y=-x²+2x．

（3）设点A的坐标为（m，-m²+2m），

∴OB=m，AB=DC=-m²+2m，根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，

∴BC=12-2m，即AD=12-2m，

∴L=AB+AD+DC=-m²+2m+12-2m-m²+2m=-m²+2m+12=-（m-3）²+15．

∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．

8．（1）当AD=4米时，S_半圆=×（）²=×2²=2（米²）．

（2）①∵AD=2r，AD+CD=8，∴CD=8-AD=8-2r，

∴S=r²+AD?CD=r²+2r（8-2r）=（-4）r²+16r，

②由①知CD=8-2r，又∵2米≤CD≤3米，∴2≤8-2r≤3，∴2．5≤r≤3，

由①知S=（-4）r²+16r=（×3.14-4）r²+16r

=-2.43r²+16r=-2.43（r-）²+，

∵-2.43<0，∴函数图象为开口向下的抛物线，

∵函数图象对称轴r=≈3.3．又2.5≤r≤3<3.3，

由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，

故当r=3时，S有最大值，

S_最大值=（-4）×3²+16×3≈（×3.14-4）×9+48=26.13≈26.1（米²）．

答：隧道截面面积S的最大值约为26.1米²．

试题详情

第五节  用函数的观点看方程（组）或不等式

【回顾与思考】

【例题经典】

利用一次函数图象求方程（组）的解

例1   （1）（2006年陕西省）直线y=kx+b（k≠0）的图象如图1，则方程kx+b=0的解为       x=_______，不等式kx+b<0的解集为x_______．

      （1）                      (2)                     (3)

    【点评】抓住直线与x的交点就可迎刃而解．

    （2）（2006年重庆市）如图2,已知函数y=ax+b和y=kx的图象，则方程组的解为_______．

    【点评】两直线的交点坐标即为方程组的解．

利用二次函数的图象求二元二次方程的根或函数值的取值范围

 例2  （2006年吉林省）已知二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）和直线y₂=kx+b（k≠0）的图象如图3，则当x=______时，y₁=0；当x______时，y₁<0；当x______时，y₁>y₂．

    【点评】抓住抛物线与x轴的交点和直线与抛物线交点来观察分析．

利用函数与方程、不等式关系解决综合问题

例3  某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10^-3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．当成人按规定剂量服药后:

    （1）分别求出x≤2和x≥2时x与y之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？

    【点评】从图中提供有效信息建立函数关系，并转化为不等式为解决．

【考点精练】

基础训练

1．（2006年广西省）已知y=-2x+m，当x=3时，y=1，则直线y=-2x+m与x轴的交点坐标为_______．

2．若直线y=x-2与直线y=-x+a相交于x轴，则直线y=-x+a不经过的象限是_____．

3．若不等式kx+b>0的解集为x>-2，则直线y=kx+b与x轴的交点为_____．

4．（2006年衡阳市）如图，直线y₁=k₁x+b₁与直线y₂=k₂x+b₂交于点（-2，2），则当x____时，y₁<y₂．

   (第4题)              (第7题)                  (第8题)

5．若方程2x²+bx+c=0有两个不相等的实数根，则抛物线y=2x²+bx+c与x轴有____个交点．

6．直线y=ax+b与y=ax²+bx+c（a≠0）的交点为（-1，2）和（3，-4），则方程组 的解为_________．

7．函数y=kx+b（k、b为常数）的图象如图，则关于x的不等式kx+b>0的解集为（  ）

    A．x>0     B．x<0     C．x<2     D．x>2

8．（2006年安徽省）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y₁=k₁x+a₁和y₂=k₂x+a₂，图象如图所示，设所挂物体质量为2kg时，甲弹簧长为y₁，乙弹簧长为y₂，则y₁与y₂的大小关系为（  ）

    A．y₁>y₂     B．y₁=y₂    C．y₁<y₂    D．不能确定

9．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（  ）

A．①②    B．②③④    C．②③    D．①②③

10．（2006年江苏省）如图，L₁反映了某公司的销售收入与销售量的关系，L₂反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系．当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量应（  ）

A．小于3吨    B．大于3吨    C．小于4吨    D．大于4吨

                (第9题)                       (第10题)

能力提升

11．如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图象．

    （1）根据图象，求k，b的值；

    （2）在图中画出函数y=-2x+2的图象；

（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．

12．育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商家购买，每件需要8元；方案2：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y₁，y₂（元）．

    （1）分别写出y₁，y₂的函数表达式；

    （2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？

（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由．

13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多出售2件．

    （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

14．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象），根据图象解答下列问题：

    （1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

    （2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？

（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？

应用与探究

15．如图所示，设田地自动喷灌水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B和水流最高点C的连线与水平地面成45°角，点C比B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少？

16．（2006年南京市）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x米．

    （1）求y与x之间的关系式；

    （2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．

答案:

例题经典 

例1：（1）-2  x>-2  （2）

例2：（1）-5或1  （2）x<-5或x>1  （3）-5<x<0

例3：（1）x≤2时，y=3x；x≥2时，y=-=6小时

考点精练 

1．（，0）  2．第三象限  3．（-2，0） 

4．x>-2  5．两  6． 

7．C  8．A 9．D  10．D 

11．（1）k=1，b=2  （2）图略 

（3）由x+2>-2x+2得x>0

12．（1）y₁=8x，y₂=4x+120．

（2）y₁=y₂，则x=30．

（3）当x=50时，y₁=400，y₂=320，

∴y₂<y₁选用方案（2）便宜．

13．（1）设应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，x₁=10，x₂=20，

∵尽快减少库存，

∴x取20，即应降价20元．

（2）设盈利为y，则y=（40-x）（20+2x），

即y=-2x²+60x+800=-2（x-15）²+1250，

当每件降15元时，商场平均每天盈利最多．

14．（1）设表示轮船行驶过程的函数解析式为y=kx，

当x=8时，y=160，

∴8k=160，k=20，即y=20x，

快艇行驶过程的函数关系式为y=40x-80．

（2）由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，轮船速度为20千米/时，快艇速度为40千米/时．

（3）快艇出发2小时赶上轮船．

15．解析式为y=-（x-2）²+3.5（x≥0），

当y=0时，x=2±（舍负），∴AD=（2+）米．

16．（1）y=240x²+180x+45 

（2）当y=195时，x₁=，x₂=-（舍去），

当x=时，2x≥1，即镜子的长为1米，宽为米．

试题详情

第四节 二次函数

【回顾与思考】

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 （1）二次函数y=ax²+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（  ）

         A．第一象限    B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

    （2）（2005年武汉市）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（  ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

                       (1)                         (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

会用待定系数法求二次函数解析式

例2  （2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym²．

    （1）写出y与x的关系式；

    （2）当x=2，3.5时，y分别是多少？

    （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？

求抛物线顶点坐标、对称轴.

例3  （2005年天津市）已知抛物线y=x²+x-．

    （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

    （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

    【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

【考点精练】

基础训练

1．二次函数y=x²的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（  ）

    A．y=x²+3    B．y=x²-3    C．y=（x+3）²    D．y=（x-3）²

2．二次函数y=-（x-1）²+3图像的顶点坐标是（  ）

    A．（-1，3）     B．（1，3）    C．（-1，-3）     D．（1，-3）

3．二次函数y=x²+x-6的图象与x轴交点的横坐标是（  ）

    A．2和-3     B．-2和3    C．2和3     D．-2和-3

4．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；③b²-4ac>0，其中正确的个数是（  ）

A．0个     B．1个     C．2个     D．3个

5．（2006年常德市）根据下列表格中二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（  ）

    x

6.17

6.18

6.19

6.20

y=ax²+bx+c

-0.03

-0.01

0.02

0.04

A．6<x<6.17       B．6.17<x<6.18   

C．6.18<x<6.19    D．6.19<x<6.20

6．（2006年南充市）二次函数y=ax²+bx+c，b²=ac，且x=0时y=-4则（  ）

    A．y_最大=-4     B．y_最小=-4    C．y_最大=-3     D．y_最小=3

7．（2006年苏州市）抛物线y=2x²+4x+5的对称轴是x=______．

8．（2006年宿迁市）将抛物线y=x²向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________．

9．（2006年锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式________．

10．（2006年长春市）函数y=x²+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．

能力提升

11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．

12．观察下面的表格：

    x

0

1

2

   ax²

2

ax²+bx+c

4

6

 （1）求a，b，c的值，并在表格内的空格中填上正确的数；

 （2）求二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标与对称轴．

13．（2006年南通市）已知抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．

 （1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

 （2）画出抛物线y=ax²+bx+c当x<0时的图象；

（3）利用抛物线y=ax²+bx+c，写出x为何值时，y>0．

14．（2006年长春市）如图，P为抛物线y=x²-x+上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面积．

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第三节 反比例函数

【回顾与思考】

    反比例函数

【例题经典】

理解反比例函数的意义

例1   若函数y=（m²-1）x为反比例函数，则m=________．

【解析】在反比例函数y=中，其解析式也可以写为y=k?x^-1，故需满足两点，一是m²-1≠0，二是3m²+m-5=-1

    【点评】函数y=为反比例函数，需满足k≠0，且x的指数是-1，两者缺一不可．

会灵活运用反比例函数图象和性质解题

例2  （2006年常德市）已知P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃）是反比例函数y=的图象上的三点，且x₁<x₂<0<x₃，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（  ）

    A．y₃<y₂<y₁     B．y₁<y₂<y₃     C．y₂<y₁<y₃     D．y₂<y₃<y₁

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第二节  一次函数

【回顾与思考】

    一次函数

【例题经典】

理解一次函数的概念和性质

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第三章 函数

第一节  变量之间的关系与平面直角坐标系

【回顾与思考】

【例题经典】

了解平面直角坐标系的意义，会判断点的位置或求点的坐标

例1 （1）（2006年益阳市）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是________．

    （2）（2006年德州市）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B的坐标是__________．

    【解析】利用数形结合的方法，直观求解．

会根据图象获取信息，进行判断

例2  （2006年怀化市）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．”

                           (1)                   (2)

    【解析】结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时间和小丽的工作效率，是解决问题的关键．

了解函数的表示方法，理解函数图象的意义

例3  （2006年贵阳市）小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（  ）

    【评析】本例主要考查识图能力，对于函数图象信息题，要充分挖掘图象所含信息，通过读图、想图、析图找出解题的突破口．另外，函数图象信息通常是以其他学科为背景，因此熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助．

【考点精练】

基础训练

1．（2006年江阴市）在平面直角坐标系中，点P（3，-2）在（  ）

A．第一象限     B．第二象限   

C．第三象限     D．第四象限

2．（2005年河北省）如右图，点A关于y轴的对称点的坐标是（  ）

A．（3，3）     B．（-3，3）   

C．（3，-3）    D．（-3，-3）

3．（2005年重庆市）点A（m-4，1-2m）在第三象限，则m的取值范围是（  ）

    A．m>     B．m<4     C．<m<4    D．m>4

4．（2006年十堰市）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（  ）

5．（2006年益阳市）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出了故障，他只好停下来修车．车修好后，因怕耽误上课，故加快速度继续匀速行驶赶往学校．下图是行驶路程S（米）与时间t（分）的函数图象，那么符合小明骑车行驶情况的图象大致是（  ）

6．（2006年南京市）在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（  ）

A．（3，7）    B．（5，3）    C．（7，3）    D．（8，2）

        (第6题)             (第7题)                (第8题)

7．（2006年长春市）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（  ）

    A．（a，-b）    B．（b，a）    C．（-b，a）    D．（-a，b）

8．（2006年济宁市）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（  ）

    A．（-4，2）    B．（-4，-2）    C．（4，-2）    D．（4，2）

9．（2006年宿迁市）小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（  ）

A．8．6分钟    B．9分钟    C．12分钟   D．16分钟

       (第9题)                   (第10题)            (第11题)

10．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（  ）

A．（-4，3）    B．（-3，4）    C．（3，-4）    D．（4，-3）

能力提升

11．（2006年绍兴市）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P₁，P₂，P₃，P₄，…P₂₀₀₆的位置，则P₂₀₀₆的横坐标X₂₀₀₆=_______．

12．（2006年烟台市）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系中原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B的坐标为______，点C的坐标为_______．

13．（2006年茂名市）如图，在平面直角坐标系XOY中，直角梯形OABC，BC∥AO，A（-2，0），B（-1，1），将直角梯形OABC绕点O顺时针旋转90°后，点A、B、C分别落在A′、B′、C′处．请你解答下列问题：

 （1）在如图直角坐标系XOY中画出旋转后的梯形O′A′B′C′．

（2）求点A旋转到A′所经过的弧形路线长．

14．（2006年宿迁市）如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转所得的图形．

  （1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；

（2）在图上画出再次旋转后的三角形④．

应用与探究

15．（2006年常州市）在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（-4，3），D（6，3），并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD．

    （1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？

    （2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标．

答案:

例题经典 

例1：（1）D（2，1），（2）B（1，-3）  例2：  例3：C

考点精练 

1．D  2．A  3．C  4．A  5．D  6．C  7．C  8．D  9．C  10．A  

11．2006  12．B（4，0），（2，2），C（4，3），（）  

13．解：（1）如图所示，

（2）点A旋转到A′所经过的弧形路线长= 

14．（1）旋转中心P位置如图所示，点P的坐标为（0，1），

（2）旋转后的三角形④如图所示．

15．解：画图正确，（1）等腰梯形；（2）P（1，-3）

试题详情

江西省高安中学2008―2009学年度下学期期中考试

高二年级语文试题

命题人：刘国强    审题人：陈春莲

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间150分钟

第Ⅰ卷(选择题 共36分)

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