1．(2010江苏泰州，1，3分)的倒数为(　　 )

A.　　 B.　　 C.　　 D.

[分析]如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数．所以的倒数为．

[答案]D

　 　 [涉及知识点]有理数的有关概念

[点评]涉及与有理数有关的概念题型，关键是对概念的理解，“回到定义中去”直接运用概念解题．

[推荐指数]★★★★

28．(本题满分12分)如图，已知一次函数y = 　- 　x +7与正比例函数y　 = 　 x的图象交于点A，

且与x轴交于点B.

(1)求点A和点B的坐标；

(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．

动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不

存在，请说明理由．

[答案](1)根据题意，得，解得 ，∴A(3，4) .

令y=-x+7=0，得x=7．∴B(7，0).

(2)①当P在OC上运动时，0≤t＜4.

由S_△APR=S_梯形COBA-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，得

(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8

整理,得t²-8t+12=0,　 解之得t₁=2,t₂=6(舍) 　

当P在CA上运动，4≤t＜7.

由S_△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3(舍)

∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

　②当P在OC上运动时，0≤t＜4. 此时直线l交AB于Q。

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

当AP =AQ时， (4-t)²+3²=2(4-t)², 整理得，t²-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)

当AP=PQ时，(4-t)²+3²=(7-t)²,整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)

当AQ=PQ时，2(4-t)²=(7-t)²整理得，t²-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)

当P在CA上运动时，4≤t＜7. 此时直线l交AO于Q。过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.

由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)．

当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = .　

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP

得t-4= (7-t)，解得t =5.

当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F

AF= AQ = ×(t-4).

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP

即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= .

∴综上所述，t=1或 或5或 时，△APQ是等腰三角形.　

[考点]一次函数，二元一次方程组，勾股定理，三角函数，一元二次方程，等腰三角形。

[分析](1)联立方程y = 　- 　x +7和y　 = 　 x即可求出点A的坐标，今y=-x+7=0即可得点B的坐标。

　　　 (2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可。应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况了。

　　　　　 ②只要把有关线段用t表示，找出AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的条件时t的值即可。应注意分别讨论P在OC上运动(此时直线l与AB相交)和P在CA上运动(此时直线l与AO相交)时AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的条件。

27．(本题满分12分)情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是　 ▲　 ，∠CAC′=　 ▲　 °．问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [答案]解：情境观察

AD(或A′D)，90　

问题探究

结论：EP=FQ.　

证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.

∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ.　 ∴EP=FQ.

拓展延伸

结论： HE=HF.　

理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.

∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP.

∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .

同理△ACG∽△FAQ，∴ = .

∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ.

∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF

[考点]拼图，旋转，矩形性质，直角三角形两锐角关系，等量代换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

[分析]情境观察：易见与BC相等的线段是AD，它们是矩形的对边。

　　　　　　　　　 ∠C′AC=180⁰-∠C′AD-∠C′AB=180⁰-90⁰=90⁰。

　问题探究：找一个可能与EP和FQ都相等的线段AG。考虑Rt△ABG≌Rt△EAP，这用ASA易证，得出EP=AG。同样考虑Rt△ACG≌Rt△FAQ，得出FQ=AG。从而得证。

　拓展延伸：与问题探究相仿，只不过将全等改为相似，证出FQ=AG。再证

Rt△EPH≌Rt△FQH，从而得证。

26．(本题满分10分)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元?

(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品

零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

[答案](1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．

　　　 根据题意，得　　 解得　

　　　 答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．

(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则

s=(1-m)(500+100×)+(2-m)(300+100×)

即 s=-2000m²+2200m+1100　 =-2000(m-0.55)²+1705.

∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705.　

答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每

天的最大利润是1705元.　

[考点]根据等量关系列方程组种函数关系式，二次函数的最大值。

[分析](1)根据信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；易列第一个方程x+y=5 。

根据信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元

知道甲商品零售单价为x+1,乙商品零售单价为2y-1，根据信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元.列第二个方程3(x+1)+2(2y-1)=19。联立求解即可。

　　　 (2)根据利润＝销售收入－销售成本公式 甲种商品的销售收入为：(3-m)(500+100×)，销售成本为：2(500+100×)，利润为(1-m)(500+100×)。乙种商品的销售收入为：(5-m)(300+100×)，销售成本为：3(300+100×)，利润为(2-m)(300+100×)。从而列出函数式，化为s=-a(m-b)²+c的形式.求出m=b时，s有最大利润c。

25．(本题满分10分)如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

(1)若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径；

(2)连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

[答案]解：(1)连接OD. 设⊙O的半径为r.

　　　　 ∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC.

　　　　 ∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.

∴ = ，即 = .　 解得r = ，

∴⊙O的半径为.

　　 (2)四边形OFDE是菱形.　

　　　　 ∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B.

∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB.

∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°.

∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形.　

∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.∴四边形OFDE是平行四边形.　

　　　　 ∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形.

[考点]直线与圆相切的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，同弧所对的圆同角与圆心角的关系，直角三角形两锐角的关系，菱形的判定。

[分析](1)要求⊙O的半径，就要把它放到三角形内，故作辅助线：连接OD。这样△OBD和△ABC易证相似，再用对应边的比就可求出半径。

　　　　 (2)要证四边形OFDE是菱形，由于OE和OF都是半径，故只要证四边形OFDE是平行四边形即可。要证这一点，由于四边形BDEF是平行四边形，有DE∥BF(ED∥OF)，故只要证DE=OF，这一点由同弧所对的圆同角∠DEF等于圆心角∠DOB的一半，平行四边形对角相等∠DEF=∠B和直角三角形两锐角互余∠DOB+∠B=90°容易得到。

24．(本题满分10分)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732)

[答案]解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.

在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC·sin30°= 30× =15.

在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB·sin60°= 40× = 20.

∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6(cm)cm.

答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.　

[考点]解直角三角形，特殊角直角三角形值，矩形性质。

[分析]要求CE就要考虑三角形，所以作辅助线：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G. 得到两个直角三角形和一个矩形。这样利用解直角三角形就易求出。

23．(本题满分10分)已知二次函数y = 　-　　 x² - x + .

(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；

(2)根据图象，写出当y ＜ 0时，x的取值范围；

(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出

平移后图象所对应的函数关系式．

[答案]解：(1)画图(如图)；　

　 (2)当y ＜ 0时，x的取值范围是x＜-3或x＞1；

　 (3)平移后图象所对应的函数关系式为y=- (x-2)²+2

[考点]二次函数，平移。

[分析](1)∵y = 　-　　 x² - x + =- (x+1)²+2；y=0，x=-2，1。

　　　　　　 ∴这个函数的图象顶点在(-1，2)，对称轴是x=-1，与x轴的两个交点是

(-2，0)，(1，0)。据此可画出这个函数的图象。

　　　 (2)根据图象，y ＜ 0时图象在x轴下方，此时对应的x的取值范围是x＜-3或

x＞1。

　　　　 (3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，只要考虑图象顶点(-1，2)向右平移3个单位得到(3，2)，从而由y=- (x+1)²+2变为y=- (x-2)²+2。

22．(本题满分8分)为迎接建党90周年，某校组织了以“党在我心中”为主题的电子

小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种．现从中随机抽取部分作品，对

其份数及成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图．

　　　 根据以上信息，解答下列问题：

(1)求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；

(2)已知该校收到参赛作品共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上(含90分)的作品有多少份？

[答案]解：(1)∵24÷20%=120(份)，∴本次抽取了120份作品.

补全两幅统计图　

(2)∵900×(30%+10%)=360(份)；

　∴估计该校学生比赛成绩达到90分以上(含90分)的作品有360份.

[考点]统计图表分析。

[分析]统计图表的分析。

21．(本题满分8分)小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为

白色、灰色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有

可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．

[答案]解：解法一：画树状图：

　　　　　 P(红色水笔和白色橡皮配套)= .

解法二：用列表法：

橡皮 　 结果 　 水笔	白	灰
红	(红,白)	(红,灰)
蓝	(蓝,白)	(蓝,灰)
黑	(黑,白)	(黑,灰)

　　　 P(红色水笔和白色橡皮配套)= .

[考点]概率，树状图或列表法。

[分析]用树状图或列表法列举出所有情况，并找取出红色水笔和白色橡皮配套的情况数，求出概率.

20．(本题满分8分)解不等式组并把解集在数轴上表示出来．

[答案]解：解不等式＜1，得x＜1；

　　　　　　 解不等式2(1-x)≤5，得x≥-；

　　　　 ∴原不等式组的解集是- ≤x＜1.　 　

　　　　 解集在数轴上表示为

[考点]一元一次不等式组，数轴。

[分析]根据一元一次不等式组的求解方法直接求解 。