28、(2011•苏州)如图①，小慧同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l₁上．OA边与直线l₁重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O₁处，点B运动到了点B₁处；小慧又将三角形纸片AO₁B₁，绕点B₁按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A₁处，点O₁运动到了点O₂处(即顶点O经过上述两次旋转到达O₂处)．

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l₁围成的图形面积等于扇形A00₁的面积、△AO₁B₁的面积和扇形B₁O₁O₂的面积之和．

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l₂上，0A边与直线l₂重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O₁处(即点B处)，点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₂处，小慧又将正方形纸片 AO₁C₁B₁绕顶点B₁按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是？

考点：旋转的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算。

专题：几何图形问题。

分析：①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，

②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出=20(1+)π+，即可得出旋转次数．

解答：解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，

∴顶点O在此过程中经过的路程为：2+=(1+)π，

顶点O在此过程中经过的图形与直线l₂围成的图形面积为：

×2++2××1=1+π．

正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：

3+=(+)π，

②正方形纸片OABC经过4次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：

2+=(1+)π，

∴=20(1+)π+，

∴正方形纸片OABC经过了81次旋转．

点评：此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别得出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．

27、(2011•苏州)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点(不与点A、B重合)，连接PA、PB、PC、PD．

(1)如图①，当PA的长度等于　2时，∠PAD=60°；当PA的长度等于　2或时，△PAD是等腰三角形；

(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O)，把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S₁、S₂、S₃．设P点坐标为(a，b)，试求2S₁S₃﹣S₂²的最大值，并求出此时a、b的值．

考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形。

专题：几何综合题；数形结合；方程思想。

分析：(1)由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB时，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．

(2)过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为(a，b)，PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．

解答：解：(1)若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，

∵AB是直径，

∴∠APB=90°，

∴PB=2，

则PA=2，

∴当PA的长度等于2时，∠PAD=60°；

若△PAD是等腰三角形，则只能是PA=PD，

过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，

则四边形EAMP是矩形，

∴PM=PE=AB=2，

∵PM²=AM•BM=4，

∵AM+BM=4，

∴AM=2，

∴PA=2，

同理可得P在P′时，PA=PB，

此时：PA=；

∴当PA的长度等于2或时，△PAD是等腰三角形；

(2)过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，

则PG⊥BC，

∵P点坐标为(a，b)，

∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，

在△PAD，△PAB及△PBC中，

S₁=2a，S₂=2b，S₃=8﹣2a，

∵AB为直径，

∴∠APB=90°，

∴PE²=AE•BE，

即b²=a(4﹣a)，

∴2S₁S₃﹣S₂²=4a(8﹣2a)﹣4b²=﹣4b²+16a=﹣4(a﹣2)²+16，

∴当a=2时，b=2，2S₁S₃﹣S₂²有最大值16．

点评：此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．

26、(2011•苏州)如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点 (不与点A、B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．

(1)弦长等于　2(结果保留根号)；

(2)当∠D=20°时，求∠BOD的度数；

(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。

专题：几何综合题；数形结合。

分析：(1)过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；

(2)连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；

(3)由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．

解答：解：过点O作OE⊥AB于E，

则AE=BE=AB，∠OEB=90°，

∵OB=2，∠B=30°，

∴BE=OB•cos∠B=2×=，

∴AB=2；

故答案为：2；

(2)连接OA，

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°；

(3)∵∠BCO=∠A+∠D，

∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，

∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，

此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴∠DAC=60°，

∴△DAC∽△BOC，

∵∠BCO=90°，

即OC⊥AB，

∴AC=AB=．

点评：此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．

25、(2011•苏州)如图，小明在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．

(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于　30　度；

(2)求A、B两点间的距离(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732)．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题。

分析：(1)根据俯角以及坡度的定义即可求解；

(2)在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．

解答：解：(1)30；

(2)由题意得：∠PBH=60°，∠APB=45°，

∵∠ABC=30°，

∴∠ABP=90°，

在直角△PHB中，PB==20．

在直角△PBA中，AB=PB=20≈34.6米．

答：A，B两点间的距离是34.6米．

点评：本题主要考查了俯角的问题以及坡度的定义，正确利用三角函数是解题的关键．

24、(2011•苏州)如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同

(1)一只自由飞翔的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，求小鸟落在草坪上的概率；

(2)现准备从图中所示的3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率是多少 (用树状图或列表法求解)？

考点：列表法与树状图法；几何概率。

分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．使用树状图分析时，一定要做到不重不漏．

解答：解：(1)P(小鸟落在草坪上)==；

(2)用树状图或列表格列出所有问题的可能的结果：

所以编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率==．

点评：此题主要考查了概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．

23、(2011•苏州)如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E．

(1)求证：△ABD≌ECB；

(2)若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．

考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质。

分析：(1)因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：△ABD≌ECB．

(2)因为∠DBC=50°，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．

解答：解：(1)∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠EBC．

∵CE⊥BD，∠A=90°，

∴∠A=∠CEB，

在△ABD和△ECB中，

∴△ABD≌△ECB；

(2)∵∠DBC=50°，BC=BD，

∴∠EDC=65°，

又∵CE⊥BD，

∴∠CED=90°，

∴∠DCB=90°﹣∠EDC=25°．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行．

22、(2011•苏州)已知|a﹣1|+=0，求方裎+bx=1的解．

考点：解分式方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根。

专题：综合题；方程思想。

分析：首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可．

解答：解：∵|a﹣1|+=0，

∴a﹣1=0，a=1；b+2=0，b=﹣2．

∴﹣2x=1，得2x²+x﹣1=0，

解得x₁=﹣1，x₂=．

经检验：x₁=﹣1，x₂=是原方程的解．

∴原方程的解为：x₁=﹣1，x₂=．

点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．同时考查了解分式方程，注意解分式方程一定注意要验根．

21、(2011•苏州)先化简，再求值：(a﹣1+)÷(a²+1)，其中a=﹣1．

考点：分式的化简求值。

分析：这道求分式值的题目，不应考虑把a的值直接代入，通常做法是先把分式通，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．

解答：解：原式=()•，

=•，

=，

当a=﹣1时，

原式==．

点评：此题主要考查了分式的计算，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算

20、(2011•苏州)解不等式：3﹣2(x﹣1)＜1．

考点：解一元一次不等式。

分析：首先去括号，然后移项合并同类项，系数化为1，即可求解．

解答：解：3﹣2x+2＜1，

得：﹣2x＜﹣4，

∴x＞2．

点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

19、(2011•苏州)计算：2²+|﹣1|﹣．

考点：实数的运算。

分析：此题涉及到乘方，绝对值，开方运算，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答：解：原式=4+1﹣3=2．

点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、绝对值，开方等考点的运算．