13．(上海20)(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

已知双曲线．

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．

记．求的取值范围；

(3)已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．

[解](1)所求渐近线方程为　 ……………...3分

　　　　 (2)设P的坐标为，则Q的坐标为， …………….4分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ……………7分

　　　　　　　　　 的取值范围是　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………9分

　　　　 (3)若P为双曲线C上第一象限内的点，

　　　　 则直线的斜率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………11分

　　　　 由计算可得，当

　　　　 当　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………15分

　　　　 ∴ s表示为直线的斜率k的函数是….16分

8．(2008湖南19)(本小题满分13分)

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4).

(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.

解　 (Ⅰ)设椭圆的方程为(a＞b＞0).

由条件知c=2,且=λ,所以a²=λ,

b²=a²-c²=λ-4.故椭圆的方程是

(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y=k(x-1).设点F(2,0)关于直线l的对称点为F²(x₀,y₀),则

解得

因为点F′(x₀,y₀)在椭圆上，所以即

λ(λ-4)k⁴+2λ(λ-6)k²+(λ-4)²=0.

设k²=t,则λ(λ-4)t²+2λ(λ-6)t+(λ-4)²=0.

因为λ＞4,所以＞0.

9、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.

(Ⅰ)求椭圆W的方程；

(Ⅱ)求证： ()；

(Ⅲ)求面积的最大值.

解：(Ⅰ)设椭圆W的方程为，由题意可知

解得，，，

所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分

(Ⅱ)解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为．

得.

由直线与椭圆W交于、两点，可知

，解得．

设点，的坐标分别为，,

则，，，．

因为，，

所以，.

又因为

，

所以．　　 ……………………………………………………………10分

解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.

于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,

则点的坐标为，，．

由椭圆的第二定义可得

,

所以，，三点共线，即．…………………………………10分

(Ⅲ)由题意知

　　 ，

当且仅当时“=”成立，

所以面积的最大值为．

4、(2008江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C：(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．

解：(Ⅰ)由题意可得直线l：　　 ①

过原点垂直于l的直线方程为 　　②

解①②得．

∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．

∴，

∴抛物线C的方程为．

(Ⅱ)设，，，

由，得．

又，．

解得 　　　③

直线ON：，即　　　 ④

由③、④及得，

点N的轨迹方程为．

28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为的直线过椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦点以及点(0，)，椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。

⑴求椭圆C的方程。

⑵过点E(-2，0)的直线交椭圆C于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。

解：⑴直线①，过原点垂直于的直线方程为②

解①②得，∵椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∴， …………………(2分)

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴，

故椭圆C的方程为　 ③…………………(4分)

⑵当直线的斜率存在时，设 ，代入③并整理得

，设，

则……………(5分)

∴，……(7分)

　点到直线的距离.

　∵，即，

　又由　 得　 ，

∴，…………………………(9分)

而，∴，即，

　解得，此时　 …………………………………(11分)

当直线的斜率不存在时，，也有，

经检验，上述直线均满足，

故直线的方程为　

3．(2008年山东卷，理科，22)

如图，设抛物线方程为为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为

(I)求证：三点的横坐标成等差数列；

(II)已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；

(III)是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中点满足(为坐标原点)。若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由。

[答案](I)证明：由题意设，，

，

所以三点的横坐标成等差数列。

(II)解：由(I)知，

所以是方程的两根，

或

因此所求抛物线方程为或

(III)解：设由题意得，则中点坐标为

设直线的方程为

与都在上，代入得.

若在抛物线上，则即.

1)当

2)当

(1)对于

矛盾.

(2)对于，，则与轴平行，而直线不垂直矛盾。

综上可知，仅存在一点适合题意.

例4. 已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.

(1)求椭圆W的方程；

(2)求证： ()；

(3)求面积的最大值.

解：(1)设椭圆W的方程为，由题意可知

解得，，，

所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分

(2)解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为．

得.

由直线与椭圆W交于、两点，可知

，解得．

设点，的坐标分别为，,

则，，，．

因为，，

所以，.

又因为

，

所以．　　 ……………………………………………………………10分

解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.

于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,

则点的坐标为，，．

由椭圆的第二定义可得

,

所以，，三点共线，即．…………………………………10分

(3)由题意知

　　 ，

当且仅当时“=”成立，

所以面积的最大值为．

例4 点在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(　 )

(A)　　　　 (B)　　　 　(C)　　　　 (D)　

解：点关于直线的对称点为，因为入射光线的斜率为，所以反射光线的斜率为，反射光线的方程为：，令，得，即，又，得，选A

[例3] 如下图，在双曲线－=1的上支上有三点A(x₁，y₁)，B(x₂，6)，C(x₃，y₃)，它们与点F(0，5)的距离成等差数列.

(1)求y₁+y₃的值；

(2)证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.

剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y₁+y₃的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性，易知A′与C′也在双曲线上，且A′、B、C′满足题设条件，所以A′C′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.

(1)解：c==5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|.　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

分别过A、B、C作x轴的垂线AA₂、BB₂、CC₂，交l于A₁、B₁、C₁，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入①式，得2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|，

即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|.

于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有

2|BB₂|=|AA₂|+|CC₂|，

此即2×6=y₁+y₃，可见y₁+y₃=12.

(2)证明：AC的中垂线方程为

y－=－(x－)，即y－6=－x+.　　　　　　 ②

由于A、C均在双曲线上，所以有－=1，－=1.

相减得=.于是有

=(y₁+y₃)=·12=13，

故②变为y=－x+，易知此直线过定点D(0，).

评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.

4．(2008年湖南卷，文科，19)

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为.

(I)求椭圆的方程；

(II)若存在过点A(1，0)的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，

求的取值范围.

[解析](I)椭圆方程由a，b，c的关系易得，(II)设出直线的方程，求出点F关于直线的对称点，代入椭圆方程解关于的不等式组即得的取值范围.

[答案](I)设椭圆的方程为

由条件知且所以

故椭圆的方程是

(II)依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是

　设点关于直线的对称点为则

　　 解得

因为点在椭圆上，所以即

设则

因为所以于是,

当且仅当

上述方程存在正实根,即直线存在.

解得所以

即的取值范围是

3．一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．

(Ⅰ)求点关于直线的对称点的坐标；

(Ⅱ)求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

(Ⅲ)设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．

解：(Ⅰ)设的坐标为，则且．……2分

解得，　 因此，点 的坐标为．　 …………………4分

(Ⅱ)，根据椭圆定义，

得，……………5分

，．

∴所求椭圆方程为．　　　　　　　　 ………………………………7分

(Ⅲ)，椭圆的准线方程为．　　　 …………………………8分

设点的坐标为,

表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．

则，．

，　　　　 ……………………………10分

令，则，

当，， ，．

　∴ 在时取得最小值．　　　　　　　 ………………………………13分

因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分

注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．

1.若抛物线y=2x²上的两点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)关于直线y=x+m对称且x₁x₂=－，求m的值.

解：设直线AB的方程为y=－x+b，代入y=2x²得2x²+x－b=0，

∴x₁+x₂=－，x₁x₂==－.

∴b=1，即AB的方程为y=－x+1.

设AB的中点为M(x₀，y₀)，则

x₀==－，代入y₀=－x₀+1，

得y₀=.又M(－，)在y=x+m上，

∴=－+m.∴m=.

［例2］过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

解法一：由e=,得,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆方程为x²+2y²=2b²,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在椭圆上.

则x₁²+2y₁²=2b²,x₂²+2y₂²=2b²,两式相减得，(x₁²－x₂²)+2(y₁²－y₂²)=0,

设AB中点为(x₀,y₀),则k_AB=－,又(x₀,y₀)在直线y=x上，y₀=x₀,于是－=

－1,k_AB=－1,设l的方程为y=－x+1.

右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)²=2b²,b²=.

∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.

解法二：由e=,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆C的方程为x²+2y²=2b²,l的方程为y=k(x－1),

将l的方程代入C的方程，得(1+2k²)x²－4k²x+2k²－2b²=0,则x₁+x₂=,y₁+y₂=k(x₁－1)+k(x₂－1)=k(x₁+x₂)－2k=－.

直线l：y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1.

若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.

2如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点

　⑴．设点P满足(为实数)，

证明：；

⑵．设直线AB的方程是，过A、B两点

的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

解⑴．依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程，得：

　　　 　　①　　　 ……………………………………………………………　　 2分

设A、B两点的坐标分别是、，则是方程①的两根，

所以，．　………………………………………………………………………　 3分

由点P满足(为实数，)，得， 即．

又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是，从而．

=

　=

　= =0　　 …………………………　 6分

　所以，．　 …………………………………………………………………　 7分

　⑵．由得点A、B的坐标分别是、．

由得，

所以，抛物线在点A处切线的斜率为．　 ………………　 9分

　设圆C的方程是，　

　则　　　　　　 ………………………　 11分

　 解得：．……………………………　 13分

　所以，圆C的方程是．　　 …………………………　 14分

排列、组合和二项式定理

⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;

⑵组合数公式：(m≤n),；

⑶组合数性质：；

⑷二项式定理：

①通项：②注意二项式系数与系数的区别；

⑸二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项(第+1项)二项式系数最大；若n为奇数，中间两项(第和+1项)二项式系数最大；

③

(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时，注意运用赋值法。

2. 概率与统计

⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…；　 p1+p2+…=1;

②离散型随机变量：

期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;

方差：DX＝ ;

注：；

③二项分布(独立重复试验)：

若X-B(n,p),则EX＝np, DX＝np(1- p);注： 。

⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

注：①0P(B|A)1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

⑶独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。

⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数(期望值)与标准差；

(6)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；

③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；

当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；

当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；

越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。

注：P=0.6826；P=0.9544

P=0.9974