4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：∵a，b，c成等比数列，∴b²＝ac.　　 www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　　　 高#考#资#源#网

又∵c＝2a，∴b²＝2a².

由余弦定理，cosB＝＝＝，故选B.

答案：B

3．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：由余弦定理cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝120°.

答案：A

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a²+c²－b²＝ac，则角B的值为

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.或　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.或

解析：由a²+c²－b²＝ac联想到余弦定理cosB＝＝，∴∠B＝.

答案：A

1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于

(　)

A．1　　　　　　　　 B．2

C.－1　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：由余弦定理a²＝b²+c²－2bccosA，可得3＝1+c²－2c·cos，即c²－c－2＝0，得c＝－1(舍去)，c＝2.故选B.

答案：B

13．(20分)如图1，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm²，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，

则ab＝9000.①

广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a>0，b>0.

∴广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b≥18500+2＝18500+2＝24500，

当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，

代入①式得a＝120，从而b＝75，

即当a＝120，b＝75时，S取得最小值为24500.

故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．

12．(15分)已知a、b∈(0，+∞)，a²+＝1，求a的最大值．

解：由已知得b²＝2－2a²，a变形为a＝·a，

∴a＝a

＝·a·≤

＝×＝.

当且仅当a＝，即a＝时，a的最大值是.

图1

11．(15分)已知a，b，c为不全相等的正数．

求证：++>3.

证明：证法1：左式＝(+)+(+)+(+)－3.

∵a，b，c为不全相等的正数，

∴+≥2，+≥2，+≥2，且等号不同时成立．

∴(+)+(+)+(+)－3>6－3

＝3.

即++>3.

证法2：左式＝(－2)+(－2)+(－2)＝(a+b+c)(++)－6.

∵a，b，c为不全相等的正数，

∴(a+b+c)(++)－6>3·3 －6

＝9－6＝3.

即++>3.

10．(2009·泉州质检)已知球O₁，球O₂的半径分别为1、r，体积分别为V₁、V₂，表面积分别为S₁、S₂，当r∈(1，+∞)时，的取值范围是________．

解析：＝＝·＝·＝·＝[(r+1)+－1]>.

答案：(，+∞)

9．(2009·重庆诊断)已知a>0，b>0且a+b＝2，若S＝a²+b²+2，则S的最大值为________．

解析：由题意得a+b≥2，0<≤1，S＝a²+b²+2＝(a+b)²－2ab+2＝－2(－)²+≤，当且仅当ab＝时取得等号，因此S的最大值是.

答案：

8．设a、b为正数，且a+b＝1，则+的最小值是______．

解析：a+b＝1，

+＝(a+b)(+)

＝+1++≥+2

＝+2＝+

(当且仅当＝，即2a²＝b²时取等号)．

答案：+