6.4 梯形(1)同步练习

解题示范

例　 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD．AE平分∠BAD交CD于点E，且DE=EC．求证：AB=AD+BC．

　　 审题　 本题是在梯形ABCD中证明线段的和差问题，提供的条件也较为丰富，如AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且DE=EC，因此运用全等三角形不难解决此题．

　　 方案　 延长AE，BC相交于点G，从而构造了△ADE≌△GCE，得AD=CG．由AE平分∠BAD，可得∠DAE=∠BAE．由AD∥BC，可得∠DAE=∠G．于是∠BAE=∠G，得到AB=BE．通过等量代换得AB=BC+CG=BC+AD．

　　 实施　 延长AE，BC相交于点G．

　　 ∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G．

　　 ∵∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠G．∴AB=BG．

　　 在△ADE和△GCE中，∵∠DAE=∠G，∠AED=∠GEC，DE=EC，

　　 ∴△ADE≌△GCE，∴AD=CG．

　　 ∵AB=BC+CG，∴AB=BC+AD．

　　 反思　 本题采用“补短”的方法解决线段和的问题，这是证明线段和差问题的常用方法，即把短线段BC补一段CG，使CG=AD，这样问题就转化成证明BG=AB．本题也可以用“截长法”来处理，过点E作AB的垂线段，即把长线段AB截成两段，证明其中一段等于AD，再证余下的一段等于BC．同学们不妨试一试．

课时训练

7．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，C同时出发，设移动时间为xs时，梯形PQCD刚好是等腰梯形，过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点Q作QF⊥AD，垂足为F．求x的值．

6．两条对角线相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请你写出已知、求证、并加以证明．

　　 已知：

　　 求证：

证明：

5．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠A与∠C互补，AD≠BC．求证：四边形ABCD是等腰梯形．

4．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=∠DCA，∠DBC=∠ACB．梯形ABCD是等腰梯形吗？说说你的理由．

3．在△EBC中，A，D是EB，EC上的两点，且AB=DC，∠B=∠C．四边形ABCD是等腰梯形吗？请说明理由．

2．在△ABC中，AB=AC，请你在图中画一个等腰梯形，并简述作图理由．

1．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，∠C=60°，则梯形ABCD是________梯形．

6.4 梯形(2) 同步练习

解题示范

例　 已知：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，且如图所示标注．求证：梯形ABCD是等腰梯形．

　　 审题　 本题的背景是在梯形ABCD中，同时图中标注了线段AB，BC，CD，AC的长度及AB⊥AC，知△ABC是直角三角形，可利用勾股定理，从计算入手证明梯形ABCD是等腰梯形．

　　 方案　 因为△ABC是直角三角形，所以运用勾股定理，求出x的值，再代入2x-7中，求出CD的长．把线段AB和CD的长度进行对比，发现梯形ABCD是等腰梯形．

　　 实施　 ∵△ABC是直角三角形，AC=12，AB=x-1，BC=13．

　　 ∴AC²+AB²=BC²，即12²+(x-1)²=13²．∴x=6，即AB=5．

　　 ∴当x=6时，CD=2x-7=5．∴AB=CD．

　　 ∴梯形ABCD是等腰梯形(两腰相等的梯形是等腰梯形)．

　　 反思　 (1)本题在几何背景下，运用勾股定理构造方程，即数学中典型的数形结合思想．(2)等腰梯形的判定方法有：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形．

课时训练

5．已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．求证：

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