5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．

4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p²-1)．

3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证：

　7｜(9x+5y)．

2．证明：当a是奇数时，a(a²-1)能被24整除．

1．求证：对任意自然数n，2×7ⁿ+1能被3整除．

2．证明整除的基本方法

　证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．

　例1 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．

　分析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．

　证 设三个连续的奇数分别为2n-1，2n+1，2n+3(其中n是整数)，于是

　(2n-1)²+(2n+1)²+(2n+3)²+1

=12(n²+n+1)．

　所以

　12｜[(2n-1)²+(2n+1)²+(2n+3)²]．

　又n²+n+1=n(n+1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2+n+1是奇数，故

24 [(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2]．

　例2 若x，y为整数，且2x+3y，9x+5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．

　证 设u=2x+3y，v=9x+5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得

3v-5u=17x．①

　所以 17｜3v．

　因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x+5y．

　若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x+3y．

　q＞1．求pq的值．

　解 若p=q，则

　不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是

　是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以

pq=3×5=15．

　例4 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．

　分析 题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．

　最小的一个：

　y｜(y+2x)，所以y｜2x，于是

　数两两互质，所以x=1．

　所求的三个数为1，2，3．

　例5 设n是奇数，求证：

60｜6ⁿ-3ⁿ-2ⁿ-1．

　分析 因为60=2²×3×5，2²，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明2²，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8-性质10，其本质是因式分解．

　证 60=2²×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有

2²｜6ⁿ-2ⁿ，2²｜3ⁿ+1，

　所以

2²｜6ⁿ-2ⁿ-3ⁿ-1， 3｜6ⁿ-3ⁿ， 3｜2ⁿ+1，

　所以

3｜6ⁿ-3ⁿ-2ⁿ-1，5｜6ⁿ-1，5｜3ⁿ+2ⁿ，

　所以

5｜6ⁿ-1-3ⁿ-2ⁿ．

　由于2²，3，5两两互质，所以

60｜6ⁿ-3ⁿ-2ⁿ-1．

　我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k+1，3k+2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．

　例6 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a²-1)．

　分析 因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5这六类．由于6k，6k+2，6k+4是2的倍数，6k+3是3的倍数，所以a只能具有6k+1或6k+5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k+5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．

　证 因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a²-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a²-1)．

　例7 求证：3ⁿ+1(n为正整数)能被2或2²整除，但不能被2的更高次幂整除．

　证 按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则

3ⁿ+1=3^2k+1=(3^k)2+1．

　由3^k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8l+1，于是

3ⁿ+1=8l+2=2(4l+1)．

　4l+1是奇数，不含有2的因数，所以3ⁿ+1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．

　若n=2k+1为奇数，k为非负整数，则

3ⁿ+1=3^2k+1+1=3·(3^k)2+1

　 　=3(8l+1)+1=4(6l+1)．

　由于6l+1是奇数，所以此时3n+1能被2²整除，但不能被2的更高次幂整除．

　在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．

　例8 已知a，b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．

　证 用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：

　(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是

a²+b²=9m²+9n²±6n+1

　　　=3(3m²+3n²±2n)+1，

　不是3的倍数，矛盾．

　(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则

　a²+b²=(3m±1)2+(3n±1)2

　　 =9m²±6m+1+9n²±6n+1

　 　=3(3m2+3n2±2m±2n)+2，

　不能被3整除，矛盾．

　由此可知，a，b都是3的倍数．

　例9 设p是质数，证明：满足a²=pb²的正整数a，b不存在．

　证 用反证法．假定存在正整数a，b，使得

a²=pb²

　令(a，b)=d，a=a₁d，b=b₁d，则(a₁，b₁)=1．所以

　与(a₁，b₁)=1矛盾．

　例10 设p，q均为自然数，且

　求证：29｜p．

　证 注意到29是质数．令a=10×11×…×19．

　所以 ap=29q·b，

　29｜a·p，29是质数，且29a，所以29｜p．

练习二十四

1．整除的基本概念与性质

　所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．

　定义 设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．

　关于整数的整除，有如下一些基本性质：

　性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．

　性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．

　性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．

　性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．

　性质5 若a=b+c，且m｜a，m｜b，则m｜c．

　性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．

　性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．

　性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(aⁿ-bⁿ)．

　性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a+b)｜(aⁿ-bⁿ)．

　性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a+b)｜(aⁿ+bⁿ)．

3．计算：

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2．计算：

1．化简：