3、求直线l2：7x-y+4=0到l1：x+y-2=0的角平分线的方程。

　　　 食物P　　 食物Q　　 食物R

维生素A(单位/kg)　 400　 600　 400

维生素B(单位/kg)　 800　 200　 400

成本(元/kg)　　　 6　　 5　　 4

2、已知△ABC的顶点A(3, -1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程。

1、已知P是以 、 为焦点的椭圆 上一点，若　 ，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　　　　　　　　　　

(A)　　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　　 (D)　

例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。

分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。

解法一：先用"平行"这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0①再用"面积"条件去求m，∵直线l交x轴于 ，交y轴于 由 ，得 ，代入①得所求直线的方程为：

解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有 ，因为l的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为 ，即48x+a2y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行，∴ ，∴ 代入②得所求直线l 的方程为

说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0的形式。

例2、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。

解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3)　 B(3, 2)

∴

∴-m≥ 或-m≤　 即m≤ 或m≥

说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。

例3、已知x、y满足约束条件

　　　　　　　　　　　　　　　 x≥1，

　　　　　　　　　　　　　　　 x-3y≤-4，

　　　　　　　　　　　　　　　 3x+5y≤30，

求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.

解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分(包括边界).

作直线 ：2x-y=0，再作一组平行于 的直线 ：2x-y=t，t∈R.

可知，当 在 的右下方时，直线 上的点(x，y)满足2x-y＞0，即t＞0，而且直线 往右平移时，t随之增大.当直线 平移至 的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当 在 的左上方时，直线 上的点(x，y)满足2x-y＜0，即t＜0，而且直线 往左平移时，t随之减小.当直线 平移至 的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小.

　　　　 x-3y+4=0，

　　 由　　　　　　　　　　　 解得点B的坐标为(5，3)；

　　　　 3x+5y-30=0，

　 　　　　x=1，

　　 由　　　　　　　　　　 解得点C的坐标为(1， ).

　　　　 3x+5y-30=0，

所以， =2×5-3=7； =2×1- = .

例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元.问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？

解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元.由题意，得

　　　　　　　 x≤10，

　　　　　　　 y≤5，

　　　　　　　 x+y≤11，

　　　　　　　 48x+56y≥60，

　　　　　　　 x，y∈N，

且z=350x+400y.

　　　　　　　 x≤10，

　　　　　　　 y≤5，

即　　　　　　 x+y≤11，

　　　　　　　 6x+7y≥55，

　　　　　　　 x，y∈N，

作出可行域，作直线 ：350x+400y=0，即7x+8y=0.

作出一组平行直线：7x+8y=t中(t为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A( ，5)，由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点A( ，5)不是最优解.

为求出最优解，必须进行定量分析.

　　 因为，7× +8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小的直线是7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以(10，0)是最优解，即当 通过B点时，z=350×10+400×0=3500元为最小.

答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元.　　

例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t　 (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形 ，使 垂直且等于AT，使 垂直且等于BT， 交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线 的方程；

　 (2)计算出点P、Q的坐标；

　 (3)证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.　　　　　　　　　

　 解: (1 ) 显然 ,　 于是 直线 的方程为 ；

　 (2)由方程组　　 解出　 、 ；　　　　　　　

　 (3) ,　　 .

　 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

　　　 说明：需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

　　 例6、设P是圆M：(x-5)2+(y-5)2=1上的动点，它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值。

解：设P(x, y)，则Q(18-x, -y)，记P点对应的复数为x+yi，则S点对应的复数为：

(x+yi)·i=-y+xi，即S(-y, x)

∴

其中 可以看作是点P到定点B(9, -9)的距离，共最大值为 最小值为 ，则

|SQ|的最大值为 ，|SQ|的最小值为

例7、 已知⊙M： 轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，(1)如果 ，求直线MQ的方程；

　　　 (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.

　　　 解:(1)由 ，可得 由射影定理，得　　 在Rt△MOQ中，

　 ，

　　 故 ，

　　 所以直线AB方程是

　　　 (2)连接MB，MQ，设 由

点M，P，Q在一直线上，得

　由射影定理得

即　 把(*)及(**)消去a，

并注意到 ，可得

说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。

例8、直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于A 两点.(1)求证： ;

　 (2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

　 解: (1)易求得抛物线的焦点 .

　 若l⊥x轴，则l的方程为 .

若l不垂直于x轴，可设 ,代入抛物线方程整理得　　　　　　　 .

综上可知　 .

(2)设 ，则CD的垂直平分线 的方程为

假设 过F，则 整理得

　， .

这时 的方程为y=0，从而 与抛物线 只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此 与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

　　　 说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。

　　　 例9、已知椭圆 ，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

　 解：假设存在满足条件的点，设M(x1，y1)a2=4，b2=3，∴a=2， ，c=1，∴ ，

　，点M到椭圆左准线的距离

　，∴ ，∴ ，∴ 或 ，这与x1∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存在。

例10、已知椭圆中心在原点，焦点在 轴上，焦距为4，离心率为 ，

(Ⅰ)求椭圆方程；　　　　

(Ⅱ)设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段 所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。

解：(Ⅰ)设椭圆方程为　　 由2c=4得c=2　　 又　

　故a=3，　 ∴所求的椭圆方程为

(Ⅱ)若k 不存在，则 ，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2　　

又设A　　　　　　　　

　由　　 得　　

　①　　　　　　　　 ②

∵点M坐标为M(0，2) ∴

由　 ∴

∴ 代入①、②得 … ③　　　 ④

由③、④ 得　　　　 ∴　　　

∴线段AB所在直线的方程为： 。

说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。

另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。

例11、已知直线l与椭圆 有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

　 解：从直线 所处的位置, 设出直线 的方程,

　 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为

代入椭圆方程　 得

化简后，得关于 的一元二次方程

于是其判别式

由已知，得△=0．即　 ①

在直线方程 中，分别令y=0，x=0，求得

　令顶点P的坐标为(x，y)，　 由已知，得

　代入①式并整理，得　 ,　 即为所求顶点P的轨迹方程．

说明：方程 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

　 例12、已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是 (1)求双曲线的方程；

　(2)已知直线 交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

　 解：∵(1) 原点到直线AB： 的距离 .

　　 故所求双曲线方程为　

(2)把 中消去y，整理得　 .

　　 设 的中点是 ，则

即

故所求k=± .

说明：为了求出 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 的方程.

　 例13、过点 作直线 与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

　 分析：若直接用点斜式设 的方程为 ，则要求 的斜率一定要存在，但在这里 的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线 的方程为 ，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。

　　 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ：

把 代入椭圆方程得： ，即

　， ，

∴ ，此时　　　

令直线的倾角为 ，则

即△OAB面积的最大值为 ，此时直线倾斜角的正切值为 。

例14、(2003年江苏高考题)已知常数 ，向量

经过原点O以 为方向向量的直线与经过定点A(0，a)以 为方向向量的直线相交于点P，其中 试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

解：∵ =(1，0)， =(0，a)，　 ∴ +λ =(λ，a)，　 －2λ =(1，－2λa).

因此，直线OP和AP的方程分别为　　 和　 .

消去参数λ，得点 的坐标满足方程 .

整理得　 ……①　　　

因为 所以得：

(i)当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

　 (ii)当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点；

　 (iii)当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点.

说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。

例15、已知椭圆 的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 ，向量 与 是共线向量。

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设Q是椭圆上任意一点，　 、 分别是左、右焦点，求∠　 的取值范围；

解：(1)∵ ，∴ 。

∵ 是共线向量，∴ ，∴b=c,故 。

(2)设

当且仅当 时，cosθ=0，∴θ 。

说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。

例16、一条斜率为1的直线 与离心率为 的椭圆C： ( )交于P、Q，两点，直线 与Y轴交于点R，且 ， ，求直线 和椭圆C的方程。

解：　 椭圆离心率为 ，　 ，

所以椭圆方程为 ，设 方程为： ，

由 消去 得

　……(1)　 ……(2)

　　 所以

而

所以　　　　

所以 ……(3)又 ， ，　 从而 ……(4)　　　　　 由(1)(2)(4)得 ……(5)

由(3)(5)解得 ，　 适合 ，

所以所求直线 方程为： 或 ；椭圆C的方程为

说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。

　例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．

　 (1)求椭圆C的离心率；

　 (2)求椭圆C的方程．

　 解法一：(1)设 , 对　 由余弦定理, 得

　 ，　 解出　　

　(2)考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：

　 i) 当k存在时，设l的方程为 ………………①

　 椭圆方程为

　由　　 得　　 .

于是椭圆方程可转化为　 ………………②

将①代入②，消去 得　　　 ,

整理为 的一元二次方程，得　　　　 .

则x1、x2是上述方程的两根．且

　，

　，

AB边上的高

ii) 当k不存在时，把直线 代入椭圆方程得

由①②知S的最大值为　 由题意得 =12　 所以　　　

　 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：　

解法二：设过左焦点的直线方程为： …………①

椭圆的方程为：

由 得： 于是椭圆方程可化为： ……②

把①代入②并整理得：

于是 是上述方程的两根.

　 ,

AB边上的高 ,

从而

当且仅当m=0取等号，即

　　 由题意知 ,　 于是　 .

　　 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：　

例18、(2002年天津高考题)已知两点M(-1，0)，N(1，0)且点P使 成公差小于零的等差数列，

(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线？

(Ⅱ)若点P坐标为 ， 为 的夹角，求tanθ。

解：(Ⅰ)记P(x,y)，由M(-1，0)N(1，0)得

　所以　　

于是，　 是公差小于零的等差数列等价于

　　　 即　　　　　　　　　　　　

所以，点P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆。

(Ⅱ)点P的坐标为 。 。

　　　 因为 0〈 ，　　　 所以　　　　　　　　

说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将"形"和"数"紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。

2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在.

　　 ⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.

⑶求双曲线的标准方程　 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

⑷双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：

　，其中k是一个不为零的常数.

⑸双曲线的标准方程有两个 和 (a＞0，b＞0).这里 ，其中|　 |=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.

1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a(a∈R).因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.

⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.

⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.

⑷当直线 或 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直

⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.

(十)轨迹方程

⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹).

(九)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

2．抛物线的方程有四种类型：

　、 、 、 .

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。

3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例

(1)范围：x≥0；

(2)对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

(3)顶点：O(0，0)，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心)；

(4)离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

(5)准线方程 ；

(6)焦半径公式：抛物线上一点P(x1，y1)，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p＞0)：

(7)焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px(p＞O)的焦点F的弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x +x +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用"弦长公式"来求。

(8)直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。

(八)双曲线的简单几何性质

1.双曲线 的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率 ＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.

2. 双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：

　，其中k是一个不为零的常数.

　　 3.双曲线的第二定义：平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是(-c，0)和(c，0)，与它们对应的准线方程分别是 和 .

在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有 与 的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.

(七)双曲线及其标准方程

1.　　 双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|　 |)的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|　 |，这一条件可以用"三角形的两边之差小于第三边"加以理解.若2a=|　 |，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|　 |，则无轨迹.

　　 若 ＜ 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 ＞ 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为"差的绝对值".

2.　　 双曲线的标准方程： 和 (a＞0，b＞0).这里 ，其中|　 |=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果 项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

　　 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.