2.运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题

例2如图，点F(a,0)(a＞0)，点P 在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且·＝0，+＝0。

(1)求点N的轨迹C的方程；

(2)过点F(a ,0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点K(－a,0)，与的夹角为θ,

求证：0＜θ＜.

[分析]　 (1)分别设出P、M与N点的坐标，将已知向量坐标化，然后利用向量数量积及向量相等知识找到等量关系。

(2)利用向量的夹角公式可知,要证0＜θ＜,只要证。

[解析]　 (1)y²＝4ax

(2) 证明：设AB的方程为y＝k(x－a)，代入y²＝4ax得

k²x²－2a(k²+2)x+k²a²＝0

设A(x₁ , y₁)、B(x₂ , y₂)，则

x₁+x₂＝

x₁ x₂＝a²

∵＝(x₁+a , y₁), ＝(x₂+a , y₂)

∴·＝(x₁+a)(x₂+a)+y₁ y₂

＝x₁x₂+a ( x₁+x₂)+a²+(－) · ()

＝a²+a·+　a²－4a²＝＞0，

∵与的夹角为θ，与不共线，

∴θ≠0，∴cosθ＝＞0　 ,　 即0＜θ＜.

变式：给定抛物线C:y²＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。

(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；

[解答] (Ⅰ)C的焦点为F(1，0),直线l的斜率为1，所以l的方程为

y＝x－1,将y＝x－1代入方程y²=4x，并整理得x²－6x+1＝0

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则有x₁+x₂＝6, x₁x₂＝1，

从而·＝x₁x₂+y₁y₂＝2x₁x₂－(x₁+x₂)+1＝－3

︱︱·︱︱＝·＝,

cos＝＝

所以与夹角的大小为π－arcos.

1.运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题

运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。

例1.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。

解：设椭圆方程为

则直线AB的方程为，代入，化简得

.

令A()，B)，则

由与共线，得

又，

即，所以，

故离心率

(II)证明：(1)知，所以椭圆可化为

设，由已知得

　在椭圆上，

即①

由(1)知

又，代入①得

故为定值，定值为1.

变式：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c, 0)(c＞0)的准线l与x轴相交于点A,，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率；

(Ⅱ)若，求直线PQ的方程；

(Ⅲ)设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，

证明：

[简解] (Ⅰ) 椭圆方程为,离心率　 (Ⅱ)略.

　 (Ⅲ) [证明]　 设P(x₁,y₁),Q (x₂,y₂),又A(3，0)，由已知得方程组：

；

注意λ＞1，消去x₁、y₁和y₂ 得

　因F(2 , 0),　 M(x₁,－y₁)，

故

而

所以　 .

4.平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。

引入：平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：

例题讲解

3.直线与圆锥曲线的位置关系问题(交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题)确定参数的取值范围；

2.椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；

1.向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平移公式；

3、情感、态度与价值观目标：

帮助学生体会形数的统一美，激发学生的学习兴趣，培养学生辩证唯物主义世界观；通过知识间的相互融合，培养学生的创新意识。

教学重点：理解并能灵活运用平面向量的解决圆锥曲线的基本问题。

教学难点：平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，选择适当的方法解决解析几何的综合问题。

教学方法：讲练结合，探究式教学，反思教学。

教学准备：多媒体电脑、课件等。

教学立意:

平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的典范，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力。

本专题就以下三方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习：㈠运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题；㈡运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题；㈢运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。

教学过程

基础知识梳理:

2、过程与方法目标：

培养学生综合应用知识解决问题的能力。

1、知识与技能目标：

帮助学生从整体的高度，了解平面向量与解析几何之间的联系；学会利用向量方法解决解析几何问题。