(二)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

(一)函数的奇偶性定义

象上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．

1．偶函数(even function)

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

(学生活动)：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2．奇函数(odd function)

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．

2．观察思考(教材P₃₉、P₄₀观察思考)

1．实践操作：(也可借助计算机演示)

取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：

1 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；

(2)若点(x，f(x))在函数图象上，则相应的点(－x，f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．

2 以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面(即第三象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；

(2)若点(x，f(x))在函数图象上，则相应的点(－x，－f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．

2．　 提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

1 求f(0)、f(1)的值；

2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

1．　 书面作业：课本P₄₅ 习题1．3(A组) 第1- 5题．

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

(二)典型例题

例1．(教材P₃₄例1)根据函数图象说明函数的单调性．

解：(略)

巩固练习：课本P₃₈练习第1、2题

例2．(教材P₃₄例2)根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：(略)

巩固练习：

1 课本P₃₈练习第3题；

　　　 2 证明函数在(1，+∞)上为增函数．

例3．借助计算机作出函数y =－x² +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．

解：(略)

思考：画出反比例函数的图象．

　　　 1 这个函数的定义域是什么？

　　　 2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．

(一)函数单调性定义

1．增函数

　　　 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

　　　 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing function)．

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．(学生活动)

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x₁，x₂；当x₁<x₂时，总有f(x₁)<f(x₂) ．

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

　　　 3．判断函数单调性的方法步骤

　　　　　　　 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

　　　　　　　 1 任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；

　　　　　　　 2 作差f(x₁)－f(x₂)；

3 变形(通常是因式分解和配方)；

4 定号(即判断差f(x₁)－f(x₂)的正负)；

5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．

3．f(x) = x²

　　　 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

　　　 2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．