6. 设a为实数,函数 　　　　　　　　

(Ⅰ)求 的极值.

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线 轴仅有一个交点.

[专家解答]：(I) =3 －2 －1

若 =0，则 ==－ ， =1

当 变化时， ， 变化情况如下表：

∴ 的极大值是 ，极小值是

(II)函数

由此可知，取足够大的正数时，有 >0，取足够小的负数时有 <0，所以曲线 = 与 轴至少有一个交点

结合 的单调性可知：

当 的极大值 <0，即 时，它的极小值也小于0，因此曲线 = 与 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当 的极小值 －1>0即 (1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线 = 与 轴仅有一个交点，它在(－∞，－ )上。

∴当 ∪(1，+∞)时，曲线 = 与 轴仅有一个交点

★★★高考要考什么

[考点透视](理科)

1了解导数概念的实际背景,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。

3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

4会求一些实际问题的最值。

(文科)

1了解导数概念的某些实际背景。

2理解导数的几何意义。

3掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。

4理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

5会利用导数求某些简单实际问题的最值。

[热点透析]

5．曲线y=x³在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为______8/3____

4. 在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数是　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 (　 D　 )

　　　 A．3　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　 D．0

3. 函数 ，已知 在 时取得极值，则 =(B)

A.2　　　　　　　　　　　 B.3　　　　　　　　　　　 C.4　　　　　　　　　　　 D.5

2．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为A

　 A． 　　　　　　　　　　　 B．

C． 　　　　　　　　　　　 D．

9．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 。已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名。

(Ⅰ)试问此次参赛学生总数约为多少人？

(Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多

少分？

可共查阅的(部分)标准正态分布表

解：(Ⅰ)设参赛学生的分数为 ，因为 -N(70，100)，由条件知，

P( ≥90)＝1－P( <90)＝1－F(90)＝1－

＝1－ (2)＝1－0.9772＝0.228．

这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，

因此，参赛总人数约为 ≈526(人)。

(Ⅱ)假定设奖的分数线为x分，则

P( ≥x)＝1－P( <x)＝1－ ＝ ＝0.0951，

即 ＝0.9049，查表得 ≈1.31，解得x＝83.1．

故设奖得分数线约为83.1分。

8．A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 。

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；

(Ⅱ)观察3个试验组，用 表示这3个试验组中甲类组的个数，求 的分布

列和数学期望。

解: (1)设A_i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依题意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = ． P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = ,

所求概率为: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)= × + × + × =

(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) ．

P(ξ=0)=()³= , 　　　　　　P(ξ=1)=C₃¹××()²=,

P(ξ=2)=C₃²×()²× = ,　　 　P(ξ=3)=( )³=

ξ的分布列为:

7．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在

底层载有 5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用ξ

表示这5位乘客在 20层下电梯的人数．求：

(Ⅰ)随机变量ξ的分布列；

(Ⅱ)随机变量ξ的期望．

解：(1) 的所有可能值为0，1，2，3，4，5。由等可能性事件的概率公式得

从而， 的分布列为

(II)由(I)得 的期望为

6．设离散型随机变量 可能取的值为1，2，3，4。 ( 1，2，

3，4)。又 的数学期望 ，则 　 　．;

5．在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是_ (结果用分数表示)．