10．(理)已知0≤x≤1，n为大于1的正整数，求证： ≤xⁿ+(1－x)ⁿ≤1

解答：设f(x)= xⁿ+(1－x)ⁿ ，则f¢ (x)=n[x^n-1-(1－x)^n-1]，

令 ，得x^n-1=(1－x)^n-1，由于0≤x≤1，则有x=1－x，解得x=

又 经比较知f(x)在[0，1]上的最小值、最大值分别为 、1所以 ≤xⁿ+(1－x)ⁿ≤1

9．已知函数F(x)=|2x－t|－x³+x+1(x∈R，t为常数，t∈R)

(1)写出此函数F(x)在R上的单调区间；

(2)若方程F(x)－k=0恰有两解，求实数k的值。

解：(1)

∴

由－3x²+3=0 得x₁=－1，x₂=1，而－3x²－1<0恒成立

∴ i) 当 <－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数

　　 在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数

ii) 当1> ≥－1时，F(x)在区间(－∞， )上是减函数

　 在区间( ，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数

iii) 当 ≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数

　　　　 (2)由1)可知

i) 当 <－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t，

在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，

此时m=－1－t或m=3－t

ii) 当－1≤ <1，F(x)在x= 处取值为 ，

在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，

此时m= 或m=3－t

iii) 当 ≥1时，不存在这样的实数m，使得F(x)－m=0恰有两解

8．(理)已知函数 ，

(Ⅰ)求 的单调区间和值域；

(Ⅱ)设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围

解：对函数f(x)求导，得

令f¢ (x)=0解得 或

当 变化时，f¢ (x)、f(x)的变化情况如下表：

所以，当 时，f(x)是减函数；当 时，f(x)是增函数；

　　　　　 当 时，f(x)的值域为

(Ⅱ)对函数g(x)求导，得

因此 ，当 时，

因此当 时， 为减函数，从而当 时有

又 ， ，即当 时有

任给 ， ，存在 使得 ，则

即

解 式得 或

解 式得

又 ，

故： 的取值范围为

7．(文)如果f(x)=x²+1，g(x)=f[f(x)],设F(x)=g(x)-lf(x)，问是否存在适当的l，使F(x)在 上是减函数，在 上是增函数？若存在，求出l的值，若不存在，说明理由。

　　　 l=3

6．设f (x)，g (x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f¢ (x)g (x)+ f (x) g¢ (x)>0且 则不等式f (x) g (x)<0的解集是=___

5．设f (x) = x³ +bx² + cx + d ，又k是一个常数. 已知当k < 0或 k > 4时，f (x)– k = 0只有一个实根；当0 < k < 4时，f (x)– k = 0有三个相异实根, 现给出下列命题：

(1) f (x) – 4 = 0和f ¢(x) = 0有一个相同的实根；(2) f (x) = 0和f ¢(x) = 0有一个相同的实根；(3) f (x)+3 = 0的实根大于f (x)– 1 = 0的任一实根；(4) f (x) + 4 = 0的实根小于f (x)– 2 = 0的任一实根.；

其中，错误命题的个数是(　 D　 )

A．4　　 B．3　　 C．2　　 D．1

4．如果函数f(x) = ax³－x² + x－5在(－¥, + ¥)上单调递增，则实数a的取值范围是 (D)

A．(0，+ ¥)　　　　　 B． 　 C． (，+ ¥)　 D．

3．函数y= f(x)在定义域 内可导，其图象如图所示．记y= f(x)的导函数为y= f¢ (x)，则不等式f¢ (x)≤0的解集为　　　　　　 ( A )

B．

C． 　

D．

2．函数y= f(x)的图象关于直线x=1对称，则导函数y= f¢ (x)的图象(C)

　　 A. 关于直线x=1对称　　　　　　　　　　　 B. 关于直线x=-1对称

　　 C. 关于点(1，0)对称　　　　　　　　　　 D. 关于点(－1，0)对称

1．设曲线y＝和曲线y＝在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tanθ＝(C　 ) A．1　　　 　　　　 B．　　 　　　　　　 C．　　　 　　　　　 D．