4．从 到 这 个数字中任取 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 整除的概率为(　 B　 )

A． 　　　 　B． 　　　　　 C． 　　　　　 D．

3．将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为

a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为(　 A　 )．

A. a=105　 p= 　　 B．a=105　 p= 　 C．a=210　 p= 　 D．a=210　 p=

2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有

195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采

用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是(　 C 　)．

A．2　　　　　　 B．3　　　　　　　 C．5　　　　　　　　　 D．13

1．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于(　 A　 )．

A． 　　　　　 B． 　　　　　　　 C． 　　　　　　　　 D．

3．离散型随机变量的分布列、期望和方差，注意 取值的完整性以及每一取值的

实际含义．

★★★突破重难点

[范例1]某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．

(Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；

(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．

解(1)

,　 ,

,　　

所以 的分布列为

的数学期望E( )= 　

(2) P( )=

[点晴]本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。

[变式]袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量 的概率分布和数学期望；

(3)计分介于20分到40分之间的概率．

解：(I)解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为 ，

则

解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为 ，则事件 和事件 是互斥事件，因为 ，所以 ．

(II)由题意 有可能的取值为：2，3，4，5．

所以随机变量 的概率分布为

因此 的数学期望为

(Ⅲ)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为 ，则

[范例2]某运动员射击一次所得环数 的分布如下：

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 ．

(I)求p；

(II)求该运动员两次都命中7环的概率

(Ⅲ)求 的分布列

解：(Ⅰ)p=1-0．3-0．3-0．2=0．2

(Ⅱ)求该运动员两次都命中7环的概率为 ；

(Ⅲ) 的可能取值为7、8、9、10

分布列为

[点晴]本题已知分布列逆求其他事件的概率和分布列，注意利用分布列的性质用于验证答案或求最后一个事件的概率，例如 。

[变式]甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．两甲，乙两袋中各任取2个球．

(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；

(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ，求n．

解：(I)记“取到的4个球全是红球”为事件 ．

(II)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件 ，“取到的4个球只有1个红球”为事件 ，“取到的4个球全是白球”为事件 ．由题意，得

所以 ，

化简，得 解得 ，或 (舍去)，故　 ．

[点晴]本题属于古典概率，已知概率的结果，利用方程的思想逆求出n是该题的关键。

[范例3]甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , ．

(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;

(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ．

解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A₁ ， "乙投篮1次投进"为事件A₂ ， "丙投篮1次投进"为事件A₃，"3人都没有投进"为事件A ．则P(A₁)= ，P(A₂)= ，P(A₃)= ，

∴ P(A) = P( ． ． )=P( )·P( )·P( )

　　　 = [1－P(A₁)] ·[1－P (A₂)] ·[1－P (A₃)]=(1－)(1－)(1－)=

∴3人都没有投进的概率为 ．

(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3， ξ~ B(3， )，

P(ξ=k)=C₃^k()^k()^3－k　 (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3× = ．

解法二: ξ的概率分布为:

Eξ=0×+1×+2×+3×= 　 ．

[点晴]已知概率求概率，主要运用加法公式(互斥)和乘法公式(独立)以及n次独立重复试验(二项分布)，注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。

[变式]某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)．若安检不合格,则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格,则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0．5,整改后安检合格的概率是0．8,计算(结果精确到0．01):

(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;

(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;

(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率．

解：(Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的．

所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 ．

(Ⅱ)由题设，必须整改的煤矿数 服从二项分布B(5,0．5)．从而 的数学期望是　　　 E ＝ ，即平均有2．50家煤矿必须整改．

(Ⅲ)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，

所以该煤矿被关闭的概率是 ，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9．

由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，

所以至少关闭一家煤矿的概率是

[点晴]注意n次独立重复试验的条件、公式的记忆以及二项分布的期望结论，另外至多、至少等概率问题常使用正难则反的思想运用。

[范例4]某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．

(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．(说明理由)

解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b，c

(1)考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为AB +A C+ BC+ABC，设其概率为P₁，则P₁＝ab(1－c)+a(1－b)c+(1－a)bc+abc＝ab+ac+bc－2abc

设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P₂，

则P₂＝ ab+ ac+ bc

(2)P₁－P₂＝(ab+ac+bc－2abc)－( ab+ ac+ bc)＝ ab+ ac+ bc－2abc

＝ (ab+ac+bc－3abc)＝ [ ab (1-c)+ac(1－b)+bc(1－a)] >0

\P₁>P₂即用方案一的概率大于用方案二的概率．

[点晴]本题作为含有字母的概率问题，增加了一定的难度，问题(Ⅱ)又运用了不等式作差的方法比较两期望的大小。

[变式]现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1．2万元、1．18万元、1．17万元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是 ,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1．3万元、1．25万元、0．2万元．随机变量 、 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．

(I)　 求 、 的概率分布和数学期望 、 ;

(II)　 当 时,求 的取值范围．

[解析](I)解法1: 的概率分布为

E =1．2 +1．18 +1．17 =1．18．

由题设得 ,则 的概率分布为

故 的概率分布为

所以 的数学期望为

E = + + = ．

解法2: 的概率分布为

E =1．2 +1．18 +1．17 =1．18．

设 表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则

P( =0)= ;

P( =1)= ;

P( =2)=

故 的概率分布为

所以 的数学期望为

E = + + = ．

(II)　 由 ,得:

因0<p<1,所以 时,p的取值范围是0<p<0．3．

[点晴]本小题考查二项分布、分布列、数学期望以及与不等式等其他知识的综合应用,考查了运用概率知识解决实际问题的能力．

★★★自我提升

2．独立重复试验，其关键是明确概念，用好公式，注意正难则反的思想．

1．相互独立事件同时发生的概率,其关键是利用排列组合的内容求解m，n．

6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 ，且各次射击的结果互不影响。

(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；

(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；

(3)设随机变量 表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求 的分布列．

[专家解答](Ⅰ)记“射手射击1次，击中目标”为事件 ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率

(Ⅱ)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率

(Ⅲ)由题设，“ ”的概率为 ( 且 )

所以， 的分布列为：

★★★高考要考什么

[考点透视]

等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差．

[热点透析]

5．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为 ( D　 )　

(A)1　　　 (B)2　　　 (C)3　　　 (D)4

4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 ．