例8.对于函数
(1)若函数在处的切线方程为,求的值;
(2)设是函数的两个极值点,且,证明:
解:(1)由切点为,,有
解得
(2)由题,、是方程的两个根,可得两根一正一负,
不妨设
.
设
;
当时,. 所以当时,,即.
变式:
已知函数
(1)若函数图像上点处的切线方程为,求的值.
(2)若函数在内是增函数,且(),试比较与的大小.
解:(1),则过点的切线斜率为
.切线方程为,,即..
在的图像上,.
(2)函数在内是增函数,对一切恒成立,即. 在内是增函数,,.令,则(当且仅当取等号),故。
反馈练习:
1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是( A )
例7.已知函数。
(1)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在y=f′(x)的图象上;
(2)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值。
解:(1)因为所以′(x)=x2+2x,由点在函数y=f′(x)的图象上,又所以
所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,
故点也在函数y=f′(x)的图象上.
(2) ,由得.当x变化时,﹑的变化情况
x |
(-∞,-2) |
-2 |
(-2,0) |
0 |
(0,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
注意到,从而
①当,此时无极小值;
②当的极小值为,此时无极大值;
③当既无极大值又无极小值.
例6.已知函数有三个极值点。
(1)证明:;
(2)若存在实数c,使函数在区间上单调递减,求的取值范围。
解:(1)因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根.设则
当时, 在上为增函数;当时, 在上为减函数;当时, 在上为增函数,
所以函数在时取极大值,在时取极小值。
当或时,最多只有两个不同实根。
因为有三个不同实根, 所以且,
即,且,解得且故.
(2)由(1)的证明可知,当时, 有三个极值点.
不妨设为(),则
所以的单调递减区间是,
若在区间上单调递减,则, 或,
若,则.由(I)知,,于是
若,则且.由(I)知,
又当时,;
当时,.因此, 当时,所以且
即故或反之, 当或时,总可找到使函数在区间上单调递减。综上所述, 的取值范围是.
变式:
已知=3是函数的一个极值点。
(1)求函数的单调区间;
(2)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。
解:(1)
有 令
|
|
1 |
(1,3) |
3 |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
极大值 |
|
极小值 |
|
∴由上表可知,的单调递增区间为,其单调减区间为(1,3)
(2)由(1)知,若直线的图象有3个交点则。
例4.设函数。
(1) 如果,点为曲线上一个动点,求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2) 若时,恒成立,求的取值范围。
解:(1) 设切线斜率为,则 当时,取最小值-4,
又, 所以,所求切线方程为,即
(2) 由,解得:或。
函数在和上是增函数,在上是减函数。
所以 或 或 解得
故的取值范围是。
例5.已知函数在处取得极值,曲线过原点和点P(-1,2),若曲线在P处的切线与直线的夹角为,且的倾斜角为钝角.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上是增函数,求实数的取值范围;
(3)若,求证:.
解:(1) 曲线过原点, 且是的极值点,
,过点P(-1,2)的切线的斜率为,
由夹角公式得:
切线的倾斜角为钝角,舍去.
由 故
(2),令即
的增区间为在区间上是增函数,
;
(3)令,,
在区间[-1,1]上的最大值M为4,最小值N为0,
故对任意,有
变式:
设函数,其中.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若函数仅在处有极值,求的取值范围;
(3)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
解:(1).
当时,.
令,解得,,.当变化时,,的变化情况如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↘ |
极小值 |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
所以在,内是增函数,在,内是减函数.
(2),显然不是方程的根.
为使仅在处有极值,必须恒成立,即有.
解此不等式,得.这时,是唯一极值.因此满足条件的的取值范围是.
(3)由条件可知,从而恒成立.
当时,;当时,.
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者.
为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当即在上恒成立.所以,因此满足条件的的取值范围是.
例3.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
解:设长方体的宽为(m),则长为 (m),高为.
故长方体的体积为
从而令,解得(舍去)或,因此.
当时,;当时,,故在处取得极大值,并且这个极大值就是的最大值,从而最大体积,此时长方体的长为2 m,高为1.5 m
变式:
某公司为获更大收益,每年要投入一定资金用于广告促销,经调查,若每年投广告费(百万元),可增加销售额约为(百万元). .
(1)若公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费才能使公司由此获得收益最大?
(2)现公司准备共投入3百万元分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改进费百万元,可增加销售额约百万元.请设计一种资金分配方案,使该公司由此获得最大收益.(注:收益=销售额-成本)
解:(1)设投入广告费t百万元,则收益。
∴时,.∴应投入2百万元广告费,由此获得收益最大。
(2)投入广告费百万元,则收益
当时,. ∴当投入技术改造2百万元、广告费1百万元时,公司收益最大。
例1.已知函数,.
(1)讨论函数的单调区间;(2)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
解:(1)求导得
当时,,,在上递增;
当,求得两根为,
即在递增,递减, 递增。
(2),且,解得。
例2.已知定义在R上的函数 是实数.
(1)若函数在区间上都是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,并且求函数的表达式;
(2)若,求证:函数是单调函数.
解:(1)由
又由于在区间上是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,所以
-1和3必是的两个根,从而
又根据
(2)因为为二次三项式,并且,当恒成立,此时函数是单调递增函数;当恒成立,此时函数是单调递减函数,因此对任意给定的实数a,函数总是单调函数。
变式:
已知在R上是减函数,求的取值范围。
解:函数的导数为。对于都有时,为减函数。由可得,解得。
当时函数在R上是减函数;当时,,由函数在R上的单调性,可知当时函数在R上是减函数;当时函数在R上存在增区间。综上的取值范围是。
函数、导数和不等式这三部分内容都是高考考查的重点,题型既有灵活多变的客观性试题,又有具有一定能力要求的主观性试题。纵观近年的高考试题,对函数的主干知识,函数知识的综合应用,函数与导数、不等式的结合,利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和最值等内容是本专题考查的重点,而本专题命题的热点主要是函数的图像与性质,以函数为背景的方程、不等式问题,以函数为模型运用导数解决的应用问题等几个方面。
14.设函数, , 将的最小值记为.
(1)求的表达式;
(2)讨论在区间[-1,1]内的单调性;
(3) 若当时,恒成立,其中为正数,求的取值范围.
13.已知函数的图像与函数的图象相切,记
(1)求实数b的值及函数F(x)的极值;
(2)若关于x的方程F(x)= k恰有三个不等的实数根,求实数k的取值范围.
12.已知为实数,函数.
(1)若函数的图象上有与轴平行的切线,求的取值范围;
(2)若,对任意,不等式恒成立,求的最小值.
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