79.(08江苏镇江28题)(本小题满分8分)探索研究

如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．

(1)求证：点为线段的中点；

(2)求证：①四边形为平行四边形；

②平行四边形为菱形；

(3)除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．

(08江苏镇江28题解析)(1)法一：由题可知．

，，

．························································································· (1分)

，即为的中点．····································································· (2分)

法二：，，．·························································· (1分)

又轴，．··············································································· (2分)

(2)①由(1)可知，，

，，

．·························································································· (3分)

，

又，四边形为平行四边形．···················································· (4分)

②设，轴，则，则．

过作轴，垂足为，在中，

．

平行四边形为菱形．··············································································· (6分)

(3)设直线为，由，得，代入得：

　 直线为．························ (7分)

设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：

，，解得．得公共点为．

所以直线与抛物线只有一个公共点．············································· (8分)

80(08黑龙江齐齐哈尔28题)(本小题满分10分)

如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．

(1)求点，点的坐标．

(2)若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

(3)在(2)的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

(08黑龙江齐齐哈尔28题解析)解：(1)

，··················································································· (1分)

，

点，点分别在轴，轴的正半轴上

······························································································· (2分)

(2)求得························································································· (3分)

(每个解析式各1分，两个取值范围共1分)························································· (6分)

(3)；；；(每个1分，计4分)

···························································································································· (10分)

81(08海南省卷24题)(本题满分14分)如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.

(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；(2)求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；

(3)若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(08海南省卷24题解析)(1)∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3.　　　　　　　　　　 ………………………………(2分)

∴ B(-2,3)

∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴ 点A的坐标为(4,0) .　　　　　　　

设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).　 ……………………(3分)

将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. (6分)

　 (2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).

　　　　　 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，

　　　　　 则BG⊥直线x=2，BG=4.

　　 在Rt△BGC中，BC=.

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5.　 ……………………(9分)

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，

则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，

∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

　　　　　 ∴ △DFB≌△DHE (SAS)，

∴ BD=DE.

即D是BE的中点.　　　　　　　　　 ………………………………(11分)

　 (3)　 存在.　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………(12分)

　　　　　 由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，

∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.

　　　　　 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

　　　　　 将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得　 .

　　　　　 ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.

∵ 动点P的坐标为(x，)，

∴ x-1=.　　　　　　　　　　 ………………………………(13分)

解得 ，.　 　∴ ，.

∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…(14分)

71.(08湖北十堰25题)已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；

⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

　

(08湖北十堰25题解析)解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ……2分

说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，

∴AB＝4．∴

在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，

∴

∴b＝　　 ………………………………3分

当时，

∴　 ………………………………4分

∴　 　………………5分

⑶存在．……………………………6分

理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．

①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．

由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．

∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分

说明：少求一个点的坐标扣1分．

②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．

过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．

∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．

∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．

∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．

∴点M的坐标为．　　　　　　 ……………………………12分

说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．

综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．

说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。

　

72(08湖南株洲23题)如图(1)，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，-2)，点B的坐标为(3，-1)，二次函数的图象为.

(1)平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式(任写一个即可).

(2)平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图(2)，求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.

(3)设P为y轴上一点，且，求点P的坐标.

(4)请在图(2)上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使为等腰三角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置(保留作图痕迹)；若不存在，请说明理由.

(08湖南株洲23题解析)

(1)等 (满足条件即可)　　　　　　　　　 ……1分

(2)设的解析式为，联立方程组，

解得：，则的解析式为……3分

点C的坐标为()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(3)如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则，，得：.　　　　　　　　　　　　 ……5分　 延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为，则点G的坐标为(0，)，设点P的坐标为(0，)

①当点P位于点G的下方时，，连结AP、BP，则，又，得，点P的坐标为(0，).　　　　　　　 …… 6分

②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为(0，).

综上所述所求点P的坐标为(0，)或(0，)　　　　　　　　　 …… 7分

(4) 作图痕迹如答图23-2所示. 由图可知，满足条件的点有、、、，共4个可能的位置.　　　 …… 10分

73(08四川达州23题)如图，将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为，．

(1)若的外接圆与轴交于点，求点坐标．

(2)若点的坐标为，试猜想过的直线与的外接圆的位置关系，并加以说明．

(3)二次函数的图象经过点和且顶点在圆上，

求此函数的解析式．

　

(08四川达州23题解析)解：(1)连结AD，则∠ADO＝∠B＝60⁰

在Rt△ADO中，∠ADO＝60⁰

所以OD＝OA÷＝3÷＝

F

所以D点的坐标是(0，)

(2)猜想是CD与圆相切

　　∵　∠AOD是直角，所以AD是圆的直径

E

又∵　Tan∠CDO=CO/OD=1/=, ∠CDO＝30⁰

　 ∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠　 即CD⊥AD

　∴　CD切外接圆于点D

(3)依题意可设二次函数的解析式为 ：

y=α(x－0)(x－3)

由此得顶点坐标的横坐标为：x==;

即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF，则得∠EFA＝∠B＝30⁰

得到EF＝EA＝　　可得一个顶点坐标为(，)

同理可得另一个顶点坐标为(，)

分别将两顶点代入y=α(x－0)(x－3)可解得α的值分别为，

则得到二次函数的解析式是y=x(x－3)或y= x(x－3)

74(08安徽芜湖24题)如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

(1)　　 求C点坐标及直线BC的解析式;

(2)　　 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

(3)　　 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

解

(08安徽芜湖24题解析)解： (1)

过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：

△ABO∽△ACD， ∴．

由已知，可知： ．

∴．∴C点坐标为．·················· 2分

直线BC的解析是为：

化简得： ·················································· 3分

(2)设抛物线解析式为，由题意得： ，　

解得： _,

∴解得抛物线解析式为或．

又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．

∴满足条件的抛物线解析式为······························································· 5分

(准确画出函数图象)········································································· 7分

(3) 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，

故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．······················ 8分

由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为_．

如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，

在Rt△BEF中，，

∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为·············································· 10分

同理可求得直线与y轴交点坐标为································································· 11分

∴两直线解析式；．

根据题意列出方程组： ⑴；⑵

∴解得：；；；

∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，········ 15分

　75(08湖北仙桃等4市25题)如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为(2，2)，∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.

(1)求的长；

(2)若的面积为(平方单位). 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少？

(3)设与交于点.①当△为等腰三角形时，求(2)中的值.

　　　 ②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.

　

(08湖北仙桃等4市25题解析)解：(1)∵∥

　　　　　　　　　 ∴

　　　　　　　 在中， ,

　　　　 ∴， 　

∴　 而

　　　　 ∴为等边三角形

　　　　 ∴…(3分)

(2)∵

∴　　　

∴

=　　 ()…………………………(6分)

即

∴当时，………………………………………(7分)

(3)①若为等腰三角形，则：

(i)若，　

　　 ∴∥

∴ 即

解得：

此时………………………………(8分)

(ii)若，

　　 ∴

过点作，垂足为，则有：

即

解得：

此时……………………………………(9分)

(iii)若，

∴∥

此时在上，不满足题意.……………………………………………(10分)

　　　 ②线段长的最大值为……………………………………………………(12分)

76(08湖南常德26题)如图9，在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90^O，∠A＝30⁰，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90^O ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝60⁰。解答下列问题：

(1)旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90⁰，请你在图中作出旋转后的对应图形

△A₁B₁C，并求出AB₁的长度；

(2)翻折：将△A₁B₁C沿过点B₁且与直线垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形

△A₂B₁C₁，试判定四边形A₂B₁DE的形状？并说明理由；

(3)平移：将△A₂B₁C₁沿直线向右平移至△A₃B₂C₂，若设平移的距离为x，△A₃B₂C₂与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时,x的值是多少？

(08湖南常德26题解析)

解：(1)在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，

∴AB₁=AC+C B₁=AC+CB=.……………………………………2分

(2)四边形A₂B₁DE为平行四边形.理由如下：

∵∠EDG＝60°，∠A₂B₁C₁＝∠A₁B₁C＝∠ABC＝60°，∴A₂B₁∥DE

又A₂B₁＝A₁B₁＝AB＝4，DE＝4，∴A₂B₁＝DE,故结论成立.………………4分

(3)由题意可知：

　　 S_△ABC=，

①　　 当或时，y＝0

此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半……………5分

②当时，直角边B₂C₂与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC₂=C₁C₂-DC₁=(x－2)㎝，则y＝,

　 当y= S_△ABC= 时，即 ，

解得(舍)或.

∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.

③当时，△A₃B₂C₂完全与等腰梯形重叠，即……………7分

④当时,B₂G=B₂C₂-GC₂=2－(－8)=10-

则y＝,

当y= S_△ABC= 时，即 ，

解得,或(舍去).

∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………9分

由以上讨论知,当或时, 重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………10分

77(08宁夏区卷26题)如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点．

(1)试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；

(2)当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；

(3)若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．

(08宁夏区卷26题解析)(1)证明：在正方形中，

无论点运动到上何处时，都有

=　 ∠=∠　 =　　　　　　　　　

　　　　 ∴△≌△·············································· 2分

(2)解法一：△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，

过点Q作⊥于,⊥于，则 = 　　　　

==

　　 ∴= ·········································································································· 4分

由△ ∽△得　 　　　解得

∴时，△的面积是正方形面积的　 ······························· 6分

解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，过点作⊥轴于点，⊥轴于点．　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　

　==　　 ∴=

　　 ∵点在正方形对角线上　　 ∴点的坐标为

　∴ 过点(0，4)，(两点的函数关系式为：

　当时，　 ∴点的坐标为(2，0)

　　 ∴时，△的面积是正方形面积的． ······························· 6分

(3)若△是等腰三角形，则有 =或=或=

①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知 　=

　　　 此时△是等腰三角形

　　　 ②当点与点重合时，点与点也重合，

此时=, △是等腰三角形 　　　　　　　　································· 8分

③解法一：如图，设点在边上运动到时，有=

∵ ∥　　　 ∴∠=∠　　　

又∵∠=∠　 ∠=∠

∴∠=∠

∴ ==

∵=　 　= 　=4

∴

即当时，△是等腰三角形　　　 ····································· 10分

解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，设点在上运动到时，有=．

过点作⊥轴于点，⊥轴于点,则

在△中，，∠=45°　

∴_试题详情