整理，得4cos²C－4cos C+1＝0，解得cos C＝，

∵0°<C<180°，∴C＝60°.

(2)由余弦定理得c²＝a²+b²－2abcos C，

即7＝a²+b²－ab，∴7＝(a+b)²－3ab，

由条件a+b＝5，得7＝25－3ab，ab＝6，

∴S_△ABC＝absin C＝×6×＝.

§4.7　正弦定理、余弦定理应用举例

12．(14分)(2010·广东五校联考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b＝5，c＝，且4sin²－cos 2C＝.

(1)求角C的大小；

(2)求△ABC的面积．

解　(1)∵A+B+C＝180°，

由4sin²－cos 2C＝，

得4cos²－cos 2C＝，

11．(13分)(2010·芜湖模拟)在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设a、b、c

满足条件b²+c²－bc＝a²和＝+，求角A和tan B的值．

解　由b²+c²－bc＝a²，得＝，

即cos A＝，又0<A<π，∴A＝.

又＝+，＝+，

C＝π－A－B＝－B，

∴sin＝sin B，

整理得cos B+sin B＝sin B+sin B.

∴cos B＝sin B，则tan B＝.

10．(13分)(2009·淮南调研)在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．

解　由已知＝＝＝，

所以＝.

方法一　利用正弦定理边化角．

由正弦定理，得＝，所以＝，

即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.

因为B、C均为△ABC的内角，

所以2C＝2B或2C+2B＝180°，

所以B＝C或B+C＝90°，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

方法二　由余弦定理，得＝，

即(a²+b²－c²)c²＝b²(a²+c²－b²)，

所以a²c²－c⁴＝a²b²－b⁴，

即a²b²－a²c²+c⁴－b⁴＝0，

所以a²(b²－c²)+(c²－b²)(c²+b²)＝0，

即(b²－c²)(a²－b²－c²)＝0，

所以b²＝c²或a²－b²－c²＝0，

即b＝c或a²＝b²+c².

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

9．(2010·中山一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b²+c²－a²)，则∠A＝________.

解析　S＝(b²+c²－a²)＝(2bccos A)＝bccos A，

又S_△ABC＝bcsin A，∴sin A＝cos A，

即tan A＝1.又A为△ABC的内角，∴A＝.

答案　

8．(2009·泰安调研)在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1+，AD为边BC上的高，则AD的长是________．

解析　cos C＝＝，∴sin C＝.

∴S_△ABC＝absin C＝a×AD.∴AD＝.

答案　

7．(2009·上海春招)在△ABC中，若AB＝3，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，则BC＝________.

解析　根据三角形内角和定理知

∠BAC＝180°－75°－60°＝45°.

根据正弦定理得＝，

即＝，∴BC＝＝＝.

答案　

6．(2010·湖州一模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若b²+c²－bc＝a²，

且＝，则角C的值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．45°　 　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　 　 C．90° 　　　　　　　　　 　D．120°

解析　由b²+c²－bc＝a²，得b²+c²－a²＝bc，

∴cos A＝＝，∴A＝60°.

又＝，∴＝，

∴sin B＝sin A＝×＝，

∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.

答案　C

5．(2008·福建理，10)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a²+c²－b²)tan B

＝ac，则角B的值为　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　 C.或　　　　　　　　 　　 　D.或

解析　∵(a²+c²－b²)tan B＝ac，

∴·tan B＝，

即cos B·tan B＝sin B＝.

∵0<B<π，∴角B的值为或.

答案　D

4．(2008·四川文，7)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2B，则cos B等于　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　 　C.　　　　　　　　　 　　 　D.

解析　由正弦定理得＝，

∴a＝b可化为＝.

又A＝2B，∴＝，∴cos B＝.

答案　B