21.(2009四川卷文)在中，为锐角，角所对的边分别为，且

(I)求的值；

(II)若，求的值。 　　

解(I)∵为锐角，

∴

∵

∴ 　　　　

(II)由(I)知，∴

由得

，即

又∵　 　　　

∴　 　　∴　

∴　 　　　

20.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，

N的俯角；A，B的距离 d (如图所示) .　　　　　　　

②第一步：计算AM . 由正弦定理　；

第二步：计算AN . 由正弦定理　；

第三步：计算MN. 由余弦定理 .

方案二：①需要测量的数据有：

A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d (如图所示).

　②第一步：计算BM . 由正弦定理　；

第二步：计算BN . 由正弦定理　；　　　　

第三步：计算MN . 由余弦定理

19.(2009辽宁卷理)如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，1.414，2.449)　　 　　

解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，　 　　　　

在△ABC中，

即AB=

因此，BD=

故B，D的距离约为0.33km。　　　　　　　　　　　　 　

18.(2009辽宁卷文)如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，1.414，2.449)　 　　　　

解：在中，＝30°，＝60°－＝30°，

所以CD＝AC＝0.1

又＝180°－60°－60°＝60°，

故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA　　　 5分

在中，，　 　　　　

即AB＝

因此，

故B、D的距离约为0.33km。　　　　　　　 12分

17.(2009全国卷Ⅱ理)设的内角、、的对边长分别为、、，，，求

分析：由，易想到先将代入得_。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。

也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。

评析：本小题考生得分易，但得满分难。

16.(2009四川卷文)在中，为锐角，角所对的边分别为，且

(I)求的值；

(II)若，求的值。

解(I)∵为锐角，

∴

∵

∴ 　　　　

(II)由(I)知，∴

　由得

，即

又∵　

∴　 　　∴　

∴　 　　　

15.(2009天津卷文)在中，

(Ⅰ)求AB的值。

(Ⅱ)求的值。

(1)解：在 中，根据正弦定理，，于是

(2)解：在 中，根据余弦定理，得

于是=，

从而

[考点定位]本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

14.(2009江西卷理)△中，所对的边分别为，,.

(1)求；

(2)若,求. 　　　　　　

解：(1) 因为，即，

所以，

即 ，

得 .　　 所以,或(不成立).

即 , 得，所以.

又因为，则，或(舍去)

得

(2)，　

　又, 即 ， 　　　　　

得

13.(2009江西卷文)在△中，所对的边分别为，，．

(1)求；

(2)若，求,，．

解：(1)由　 得

　　 则有 =

　　　 得 即.

(2) 由　 推出 　；而,

即得,

　 则有 　　　解得

12.(2009安徽卷文)(本小题满分12分) 在ABC中，C-A=，　 sinB=。

(I)求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。

[思路](1)依据三角函数恒等变形可得关于的式子，这之中要运用到倍角公式；

(2)应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出.

解(1)∵∴

∴ 　　　　　

∴

又 ∴

(2)如图，由正弦定理得∴

∴.