32.(2009湖南卷文)对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有

,　 　　　　　则称数列为数列.

(Ⅰ)首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

(Ⅱ)设是数列的前n项和.给出下列两组判断：

A组：①数列是B-数列,　　　 ②数列不是B-数列;

B组：③数列是B-数列,　　　 ④数列不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。

解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为,则.于是

==

所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列　　 .

(Ⅱ)命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.

事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，

　　　 .

由n的任意性知，数列不是B-数列。

命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。

事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有

　　　 ,

　　　 即.于是

,

所以数列是B-数列。

(注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法)　 　　　　　

　(Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有

　.

因为

　.

记，则有

　.

因此.

故数列是B-数列.

31.(2009四川卷文)设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(I)求数列与数列的通项公式；

(II)设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；

(III)记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

解(I)当时，　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，　　　　　 …………………………………3分

(II)不存在正整数，使得成立。

证明：由(I)知　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴当n为偶数时，设　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴

当n为奇数时，设

∴

∴对于一切的正整数n，都有　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴不存在正整数，使得成立。　　　 …………………………………8分

(III)由得　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当时，，

当时，

30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和(n为正整数)。

(Ⅰ)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)令，试比较与的大小，并予以证明。

解(I)在中，令n=1，可得，即

当时，，

.

　 .　　 　　　　　　　　　　

　又数列是首项和公差均为1的等差数列.

　于是.

(II)由(I)得，所以

由①-②得　　 　　　　　　　　

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由　　 　　　　　　　　

可猜想当证明如下：

证法1：(1)当n=3时，由上验算显示成立。

(2)假设时

所以当时猜想也成立

综合(1)(2)可知 ，对一切的正整数，都有

证法2：当时

综上所述，当，当时

29.(2009江西卷理)各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有

(1)当时，求通项 　　　　　　

(2)证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有

解：(1)由得

将代入化简得 　　　　　

所以 　　　　　　

故数列为等比数列，从而

即

可验证，满足题设条件.

(2) 由题设的值仅与有关,记为则 　　　　　　

考察函数 ,则在定义域上有 　　　　　

故对， 恒成立. 　　　　　　

又 ,

注意到,解上式得

取,即有　 . 　　　　　　

27.(2009广东卷理)知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：.

解：(1)设直线：，联立得，则，∴(舍去) 　　

，即，∴

(2)证明：∵ 　　　

∴

由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，

则有，即.　　 　　　　　　　

28(2009安徽卷理)首项为正数的数列满足　　 　　　

(I)证明：若为奇数，则对一切都是奇数；

(II)若对一切都有，求的取值范围.

解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。

解：(I)已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，

则由递推关系得是奇数。　 　　　

根据数学归纳法，对任何，都是奇数。

(II)(方法一)由知，当且仅当或。

另一方面，若则；若，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切都有的充要条件是或。

(方法二)由得于是或。

因为所以所有的均大于0，因此与同号。

根据数学归纳法，，与同号。　 　　　

因此，对一切都有的充要条件是或。

26.(2009山东卷理)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的　 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.

(1)求r的值；　　　

(11)当b=2时，记　 　　　　

证明：对任意的 ，不等式成立

解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,

(2)当b=2时，,　　

则,所以 　　　

下面用数学归纳法证明不等式成立.

①　　 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.

②　　 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=

所以当时,不等式也成立. 　　　

由①、②可得不等式恒成立.

[命题立意]:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.

24.(2009江苏卷)设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。

(1)求数列的通项公式及前项和；　 　

(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项。　 　

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

(1)设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,

(2) _(方法一)=,设，　 　

则=,　 所以为8的约数

(方法二)因为为数列中的项，

故为整数，又由(1)知：为奇数，所以

经检验，符合题意的正整数只有。 　　

25(2009江苏卷)对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中(和可以相等)；对于随机选取的(和可以相等)，记为关于的一元二次方程有实数根的概率。

(1)求和；

(2)求证：对任意正整数≥2，有.

[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

23.(2009北京理)已知数集具有性质；对任意的

，与两数中至少有一个属于.

(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

(Ⅱ)证明：，且；

(Ⅲ)证明：当时，成等比数列.

[解析]本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

(Ⅰ)由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.

　由于都属于数集，

　∴该数集具有性质P.

(Ⅱ)∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，

由于，∴，故. 　　　

从而，∴.

∵， ∴，故.

由A具有性质P可知.

又∵，

∴，

从而，

∴. 　　　

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当时，有，即，

　∵，∴，∴，

由A具有性质P可知.

　，得，且，∴，

∴，即是首项为1，公比为成等比数列..k.s.5.

22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列中，

(I)设，求数列的通项公式

(II)求数列的前项和

分析：(I)由已知有

利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()

(II)由(I)知,

=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得 =

评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

21.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知点(1，)是函数且)的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+().

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? 　　　

解(1),

　,,

　.

又数列成等比数列， ，所以 ；

又公比，所以　 　；

又,, ；

数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，

当， 　；

()；

(2)

　　；

　 由得，满足的最小正整数为112.