学习力提升七年级数学浙教版
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19.分类讨论是一种重要的数学思想,比如要比较$ a $与$-a$的大小关系,我们可以分三种情况进行讨论:①当$ a＞0 $时,$ a＞-a $;②当$ a=0 $时,$ a=-a $;③当$ a＜0 $时,$ a＜-a $.
(1)根据以上思想,请比较$ a $与$\frac{a}{3}$的大小关系;
(2)根据以上思想,请比较$ a $与$\frac{1}{a}$的大小关系.
答案：(1)当$a＞0$时，$a＞\frac{a}{3}$；当$a=0$时，$a=\frac{a}{3}$；当$a＜0$时，$a＜\frac{a}{3}$
解析：当$a＞0$时，两边同时除以$a$（正数）得$1＞\frac{1}{3}$，所以$a＞\frac{a}{3}$；当$a=0$时，$a=0$，$\frac{a}{3}=0$，所以$a=\frac{a}{3}$；当$a＜0$时，两边同时除以$a$（负数）得$1＜\frac{1}{3}$，所以$a＜\frac{a}{3}$。
(2)当$a＞1$时，$a＞\frac{1}{a}$；当$a=1$时，$a=\frac{1}{a}$；当$0＜a＜1$时，$a＜\frac{1}{a}$；当$-1＜a＜0$时，$a＞\frac{1}{a}$；当$a=-1$时，$a=\frac{1}{a}$；当$a＜-1$时，$a＜\frac{1}{a}$
解析：当$a＞0$时，若$a＞1$，则$a^2＞1$，即$a＞\frac{1}{a}$；若$a=1$，则$a=\frac{1}{a}=1$；若$0＜a＜1$，则$a^2＜1$，即$a＜\frac{1}{a}$。当$a＜0$时，若$-1＜a＜0$，则$a^2＜1$，两边除以$a$（负数）得$a＞\frac{1}{a}$；若$a=-1$，则$a=\frac{1}{a}=-1$；若$a＜-1$，则$a^2＞1$，两边除以$a$（负数）得$a＜\frac{1}{a}$。
