学法大视野九年级数学华师大版
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【例1】代数式$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
（A）$x＜1$
（B）$x\leqslant1$
（C）$x＞1$
（D）$x\geqslant1$
答案：C
解析：要使代数式$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$有意义，分母$\sqrt{x-1}\neq0$且被开方数$x-1\geqslant0$。$x-1\geqslant0$解得$x\geqslant1$，又因为分母不为0，所以$x-1＞0$，即$x＞1$。
变式训练1-1：（2023丹东）若代数式$\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
答案：$x\geqslant-2$且$x\neq1$
解析：要使代数式有意义，分子中被开方数$x+2\geqslant0$，解得$x\geqslant-2$；分母$x-1\neq0$，解得$x\neq1$。所以$x$的取值范围是$x\geqslant-2$且$x\neq1$。
变式训练1-2：若$y=\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}-6$，则$xy=$______.
答案：-3
解析：由二次根式有意义的条件可得$x-\frac{1}{2}\geqslant0$且$\frac{1}{2}-x\geqslant0$，解得$x=\frac{1}{2}$。将$x=\frac{1}{2}$代入$y$，得$y=0+0-6=-6$，所以$xy=\frac{1}{2}×(-6)=-3$。
【例2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a-b)^{2}}$的结果是（ ）
（A）$-2b$
（B）$-2a$
（C）$2b-2a$
（D）0
图：数轴上a在-1和0之间，b在1和2之间
答案：A
解析：由数轴可知$a＜0$，$b＞0$，$a-b＜0$。$\sqrt{a^{2}}=-a$，$\sqrt{b^{2}}=b$，$\sqrt{(a-b)^{2}}=b-a$。原式$=-a - b-(b - a)=-a - b - b + a=-2b$。
变式训练2-1：计算：（1）$(-\sqrt{2})^{2}=$______；（2）$\sqrt{(-2)^{2}}=$______.
答案：（1）2；（2）2
解析：（1）$(-\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$；（2）$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$。
变式训练2-2：实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：$\sqrt{(m-2)^{2}}=$______.
图：数轴上m在1和2之间
答案：2 - m
解析：由数轴可知$m＜2$，所以$m - 2＜0$，$\sqrt{(m - 2)^{2}}=2 - m$。
1.（2024长沙模拟）下列式子是二次根式的是（ ）
（A）$\sqrt{5}$
（B）$\sqrt{-2}$
（C）$\sqrt{2 - \pi}$
（D）$\sqrt[3]{3}$
答案：A
解析：二次根式要求被开方数非负且根指数为2。选项B中被开方数$-2＜0$；选项C中$2 - \pi＜0$；选项D根指数是3，不是二次根式；选项A符合二次根式定义。
2.（2023通辽）已知二次根式$\sqrt{1 - x}$在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
选项数轴图：A选项从1向右；B选项从1向左（含1）；C选项从1向左（不含1）；D选项从1向右（含1）
答案：C
3.下列计算正确的是（ ）
（A）$\sqrt{9}=\pm3$
（B）$\sqrt{(\frac{4}{9})^{2}}=\frac{2}{3}$
（C）$\sqrt{(-5)^{2}}=-5$
（D）$\sqrt{1\frac{7}{9}}=\frac{4}{3}$
答案：D
解析：选项A，$\sqrt{9}=3$，不是$\pm3$；选项B，$\sqrt{(\frac{4}{9})^{2}}=\frac{4}{9}$；选项C，$\sqrt{(-5)^{2}}=5$；选项D，$\sqrt{1\frac{7}{9}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$，正确。
