13.   圆与圆的位置关系是                 (    )

(A) 相交            (B) 相离            (C) 内切          (D) 外切     

14.   已知无穷等比数列的前项和为，各项的和为，且，则其首项的取值范围是                                                   (    )

   (A)                       (B)   

   (C)                         (D)

15.   在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图像上有且仅有个整点，则称函数为阶整点函数．有下列函数：

①；     ②；     ③；      ④，

其中是一阶整点函数的个数为                                            （    ）

（A）             （B）         （C）        （D）

16.   已知正方形的面积为，平行于轴，顶点、和分别在函数、和（其中）的图像上，则实数的值为 (    )

   (A)            (B)             (C)           (D)

17.   (本题满分12分)

已知函数，有反函数，且函数的最大值为，求实数的值.

18.    (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且．

（1） 若点、分别在棱、上，且，，求证：平面；

（2） 若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长．

19.   (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知数列满足，且对任意，都有．

（1）       求证：数列为等差数列；

（2）       试问数列中任意连续两项的乘积是否仍是中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．

20.   (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.

定义区间，，，的长度均为，其中．

（1） 若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；

（2） 已知关于的不等式，的解集构成的各区间的长度和超过，求实数的取值范围；

（3） 已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为，求实数的取值范围．

21.   (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．

（1）       若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；

（2）       现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？

（3）       如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）

理科答案

说明

    1. 本解答列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.

    2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.

    3. 第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.

    4. 给分或扣分均以1分为单位.

答案及评分标准

1..                       2. .         3. .       4. .    

5. .      6. .                7. .            8. .     

9..            10. .         11. ①②⑤    

12.答案不惟一，，，…….     

 题  号

13

14

15

16

 代  号

C

B

B

C

17.【解】 因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的

函数的对称轴为，所以或            …… 3分

若，在区间上函数是单调递增的，所以，解得，符合                                                        …… 7分

若，在区间上函数是单调递减的，所以，解得，与矛盾，舍去                                        …… 11分

综上所述，满足题意的实数的值为                                ……12分

18.【解】（1）以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．                                                                 …… 1分

则，，，，，

因为，，所以，，             …… 3分

则，，．                 …… 5分

，，即垂直于平面中两条相交直线，所以平面．                                                               …… 7分

（2），可设，

所以向量的坐标为，                                   …… 8分

  平面的法向量为．

点到平面的距离．               …… 10分

中，，，，所以．       …… 12分

三棱锥的体积，所以． …… 13分

此时向量的坐标为，，即线段的长为． …… 14分

19.【解】（1）由及可知数列的每一项都是正的．   …… 1分

，即，              …… 3分

所以，                                              …… 4分

所以数列是以为首项，公差为的等差数列．                      ……6分

（2）由（1）可得数列的通项公式为，所以．   …… 8分

           ．                   …… 10分

因为，                           …… 11分

当时，一定是正整数，所以是正整数．     …… 13分

所以是数列中的项，是第项．                 …… 14分

20.【解】（1）时不合题意；                                       …… 1分

时，方程的两根设为、，则，，由题意知，                      …… 2分

     解得或（舍），                                        …… 3分

     所以．                                                    …… 4分

（2）因为

，      …… 5分

设，原不等式等价于“，”，…… 6分

因为函数的最小正周期为，的长度恰为函数的一个正周期，

所以当时，，的解集构成的各区间的长度和超过，即的取值范围为．                        …… 9分

  （3）先解不等式，整理得，即

所以不等式的解集                                   …… 10分

设不等式的解集为，不等式组的解集为

不等式等价于                  …… 11分

所以，，不等式组的解集的各区间长度和为，所以不等式组，当时，恒成立                               …… 12分

当时，不等式恒成立，得                         …… 13分

当时，不等式恒成立，即恒成立        …… 14分

当时，的取值范围为，所以实数          …… 15分

综上所述，的取值范围为                                       …… 16分

21.【解】（1）双曲线的焦点在轴上，所以①不是双曲线的方程……1分

       双曲线不经过点，所以②不是双曲线的方程           …… 2分

        所以③是等轴双曲线的方程                             …… 3分

        等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲线的顶点也在直线上，                                                            …… 4分

联立方程，解得双曲线的两顶点坐标为，，所以双曲线的实轴长为                                         …… 5分

（2）       所求问题即为：在双曲线求一点，使最小．

首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上     …… 6分

等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为

       又因为双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点，                                           …… 7分

设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的定义知：

所以，要求的最小值，只需求的最小值                                                                …… 8分

直线的方程为，所以直线与双曲线在第一象限的交点为                                                             …… 9分

    所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低       …… 10分

（3）① ，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点；                                                  …… 1分

② 渐近线是和．当时，当无限增大时，无限趋近于，与无限趋近；当无限增大时，无限趋近于．      …… 2分

③ 双曲线的对称轴是和．                           …… 3分

④ 双曲线的顶点为，，实轴在直线上，实轴长为                                                                 …… 4分

⑤虚轴在直线，虚轴长为                                 …… 5分

⑥焦点坐标为，，焦距                    …… 6分

说明：（i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分

（ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分