1． 集合A＝{x｜－3＜x＜5}，B＝{x｜x＜1或x＞4}，则_RA∩_R B是（       ）

    A．                               B．{x｜－3≤x≤5}

C．{x｜－3≤x≤1或4≤x≤5}          D．{x｜x≤－3或1≤x≤4或x≥5}

2． _{函数的定义域为（        ）}

A．（－∞，）    B．（，＋∞）   C．（，2］         D．（，2）

3． 设数列{a_n}是等差数列，且a₂＝－9，a₇＝11，S_n是数列{a_n}是的前n项和，则（     ）

A．S₇＝S₈                 B．S₈＞0              C．S₇＝0            D．a₄＞0

4． 把函数y＝cos(x＋)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，

则φ的最小正值为（          ）

    A．            B．              C．            D．

5． 已知a、b为向量，下列命题中正确的是（           ）

A．                      B．若，则

C．≥                             D．

6． 点P（x，y）在以A（－3，1），B（－1，0），C（－2，－2）为顶点的△ABC的内部运动（不包含边界），则的取值范围是（           ）

A．［，］     B．（1，）　　C．（，）     D．（，1）

7． 三棱锥P―ABC中，PA、PB、PC两两垂直且PA＝2，PB＝4，PC＝2，如果三棱锥的四个顶点都在同一球面上，那么这个球的球心到直线PB的距离为（       ）

       A．          B．5　　　　　C．       　  D．

8． 曲线y²＝4x上的点P到点A（－2，4）与到y轴的距离之和为d，则d的最小值是 （      ）

    A．        B．3             　C．4           D．5

9． 某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且这7个车队的车型号都相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同抽法的种数为（    ）

A．7              B．28                   C．35          D．84

10．若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，－2），则当不等式 的解集为（－1，2）时，t的值为（          ）

       A．－1               B．0               C．1             D．2

11．复数的值是__________ ．

12．以原点为圆心，且截直线所得弦长为8的圆的方程是___________ ．

13．的值等于_________________ ．

14．使有实数解的a的取值范围是_________________．

15．已知－≤x≤，要使成立，则实数m的取值范围是__________．

16．如果方程恰有唯一解，则实数k的取值范围是___________________．

17．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝cos⁴x－2sinxcosx－sin⁴x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）的对称轴方程；

（Ⅲ）求f（x）的单调递减区间．

18．（本小题满分12分）从一批含有13只正品，2只次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，设抽得次品数为． （Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求E．

19．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝ax⁴＋bx²＋c的图象经过点（0，2），且在x＝1处的切线方程

是y＝－4x＋．

（Ⅰ）求函数y＝f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调递减区间；

（Ⅲ）求函数y＝f（x）在区间［－4，1］上的最值．

20．（本小题满分12分）

如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4．

E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；              

    （Ⅱ）求二面角E－AC－D所成平面角的余弦值；

    （Ⅲ）求B点到平面EAC的距离．

21．（本小题满分14分）已知等差数列{a_n}的首项a₁＝1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n＝（n∈N^*），S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有S_n＞总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）已知椭圆C的方程为 ，过其左焦点F₁（－1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．

（Ⅰ）若与=（－3，1）共线，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知直线l：，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．

天津市河北区2007届高三第一次模拟考试数学理科解答

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

B

D

B

C

A

C

D

C

11．2              12．    13．

14．          15．m≥          16．k∈（－∞，0］∪（，＋∞）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ） f（x）＝(cos⁴x－sin⁴x)－2sinx?cosx＝(cos²x－sin²x)－sin2x

＝cos2x－sin2x＝cos(2x＋)． ………………………… 4分

∴f（x）的最小正周期T＝＝π．  …………………………………… 6分

（Ⅱ）2x＋＝kπ，则x＝－，k∈Z．

∴函数f（x）的对称轴方程是x＝－，k∈Z． …………………… 8分

（Ⅲ）令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π， ………………………………………… 10分

则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．

故f（x）的单调递减区间为［kπ－，kπ+］，k∈Z．  ………… 12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）的分布如下：

0

1

2

P

　　              …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．……………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知（x）＝4ax³＋2bx，   …………………………………… 2分

f（0）＝2，（1）＝－4，f（1）＝－，

∴ ． ………………………………………………………… 4分

∴a＝，b＝－，c＝2．

∴f（x）＝x⁴－x²＋2．  ………………………………………………… 6分

（Ⅱ）∵（x）＝x³－5x，  ……………………………………………………… 7分

由x³－5x＜0，得x∈（－∞，－）∪（0，），

∴f（x）的单调递减区间为（－∞，－）和（0，）． ……………… 9分

（Ⅲ）∵在区间［－4，1］上有，，…………………… 10分

∴解得，，，f（1）＝－．

∴在区间［－4，1］上函数y＝f（x）的最大值为26，最小值为． … 12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），，

．   ……………………………………………………………… 2分

    而 

．

∵，

．  ………………………………………………… 4分

（Ⅱ）取中点， 连结 ， 则 ,

∵平面，  

∴平面，

过作交于，连结，

则 就是二面角所成平面角．  ………………………… 6分

由，则.

在中，   解得

因为是的中点，所以． ……………………………… 7分

而，由勾股定理可得． ……………………………… 8分

∴．  ……………………………… 9分

（Ⅲ）连结BE，在三棱锥B－EAC中，

，  …………………………… 10分

． ………………… 11分

    点E到底面BAC的距离EO＝1，

则由，即，

  求得．

所以B点到平面EAC的距离是．  ……………………………………… 12分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意得（a₁＋d）（a₁＋13d）=（a₁＋4d）²， ……………………… 2 分

整理得2a₁d＝d²．

∵a₁＝1，解得（d＝0舍），d＝2．  ………………………………………… 4 分

∴a_n＝2n－1（n∈N^*）．   …………………………………………………… 6 分

（Ⅱ）b_n＝＝＝（－），

∴S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］

＝（1－）＝．   …………………………………… 10 分

假设存在整数t满足S_n＞总成立.

又S_n+1－S_n＝－＝＞0，

∴数列{S_n}是单调递增的．   ……………………………………………… 12 分

∴S₁＝为S_n的最小值，故＜，即t＜9．

又∵t∈N^*，

∴适合条件的t的最大值为8．   ………………………………………… 14 分

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）将直线PQ的方程为，

       化简得．

       令则 ．  ……………………… 2分

由，  与=（－3，1）共线，得

    ∴．

∴，即，∴．  ………………… 4分

又∵，   ∴．

所以椭圆C的方程为．  …………………………………… 6分

（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F₂，则易知F₁（－1，0）F₂（1，0），

直线l的方程为：，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须｜|MF₁|－|MF₂|｜最大，   …………………………………………………… 8分

设F₂（1，0）关于直线l的对称点为，

则可求（，－），则直线与直线l的交点为所求M，

得M（，－）． ……………………………………… 10分

又=｜|MF₁|－|MF₂|｜=｜|MF₁|－|M|｜≤＝， ……… 12分

∴，．

故所求双曲线E方程为： ． ……………………………… 14分