八年级上期期中数学测试题

（时间100W分钟  总分120分）

试题详情

§14．3  等腰三角形

1.等腰三角形

知识要点

    1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

    2．三角形按边分类：三角形

    3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：

    性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

    性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

    4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

例：如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD.

    分析：要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．

证明：连接AC、AD  在△ABC和△AED中

    ∴△ABC≌△AED（SAD）  ∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）

    又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）

    ∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）

练习题

(第一课时)

试题详情

§14．2  轴对称变换

1.轴对称变换

知识要点

    1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

    2．轴对称变换的性质：

    （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

    （2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

    （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

    3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：

    （1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

典型例题

例：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．

    分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．

②作点P关于直线OB的对称点F；

③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则C、D就是所要求作的点．

    证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．

    在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP．

∵△PHD的周长

=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF

而△PCD的周长

=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF

    ∴△PCD的周长最短．

练习题

试题详情

第十四章  生活中的轴对称

§14.1  轴对称

知识要点

    1．轴对称图形和轴对称

    （1）如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．毛

    （2）有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．

    （3）有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

    （4）图形轴对称的性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

    （5）轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

    2．线段的垂直平分线

    （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

    （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

例：如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证BG=CH．

    分析：由AD平分∠BAC及DG⊥AB、DH⊥AC可以得到DG=DH（角平分线的性质），而DE是BC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得到BD=CD，于是可利用“HL”证明Rt△BDG≌Rt△CDH得到BG=CH．

    证明：连接BD、CD  ∵点D在∠BAC的平分线上，又DG⊥AB、DH⊥AC；

    ∴DG=DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

    ∵DE是BC的垂直平分线

    ∴DB=DC（线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）

∵DG⊥AB、DH⊥AC  ∴∠BGD=∠CHD=90°

在Rt△BDG和Rt△CDH中，

    ∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL）  ∴BG=CH（全等三角形的对应边相等）

练习题

(第一课时)

试题详情

12.2.2  用直方图描述数据

知识要点

    1．绘制频数分布表和频数分布直方图时要将一批数据分组，组距和组数的确定没有固定的标准，通常数据越多，所分的组数也越多，当数据在100个以内时，根据数据的多少常分成5─12组．一般地，所分的小组里含最小值，不含最大值，即数据x满足a≤x<b．

    2．频数分布表和频数分布直方图是一组数据的频数分布的两种不同表现形式，前者准确，后者直观．

    3．描述频数分布情况还可以用频数折线图来刻画数据的总体规律．

典型例题

    例：刘杨阳调查了他们班50名同学的身高（单位：厘米），请你帮助他用统计图来描述所得的数据．

    158  157  157  157  169  155  155  141  165  144  171  145  158 145  150  150  157  168  154  168  154  168  149  150  150  154  155 157  162  163  155  160  152  152  145  160  160  163  163  148  159 152  159  144  160  158  162  172  155  145  168  155

    分析：取组距为5，将数据分成7组，绘制频数分布表、频数分布直方图和频数折图来分析数据．

解：首先观察到这组数据中最大值是172，最小值是141，它们的差是31．若取组距为5，由于31÷5≈7，因此要将整个数据分为7组，用x（厘米）表示身高，则所分的组为141≤x<146，146≤x<151，151≤x<156，……，171≤x<176．整理可得下列频数分布表：

      用横轴表示身高，等距离标出各组的端点141、146、151、……171、176，用纵轴表示频数，等距离标出4、8、12、16等，以各组的频数为高画出与这一组对应的长方形，得到下面的频数分布直方图（如图1）取直方图中每一个长方形上边的中点，然后在直方图的左边取点（138.5，0），在直方图的右边取点（178.5，0），将这些点用线段依次连接起来，就得到频数折线图（如图2）

                （1）                               （2）

同步练习

试题详情

11.3.3  一次函数与二元一次方程(组) 同步训练

教材基础知识针对性训练

试题详情

11.3.2 一次函数与一元一次不等式

知识库

    1．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．

    2．解关于x的不等式kx+b>mx+n可以转化为：

    （1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．

    或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）

魔法师

    例：用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4

    分析：（1）可将不等式化为-x-3>0，作出直线y=-x-3，然后观察：自变量x取何值时，图象上的点在x轴上方？

    或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察：对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方？

    解：方法（1）原不等式为：-x-3>0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3的图象（图1）．从图象可以看出，当x<-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．

    方法（2）  把原不等式的两边看着是两个一次函数，在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x<-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应点的上方，此时有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．

                   (1)                            (2)

演兵场

    ☆我能选

1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（  ）

    A．x>1      B．x≥1      C．x<1      D．x≤1

2．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0的解集是（  ）

    A．x>-2      B．x≥-2      C．x<-2      D．x≤-2

3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（  ）

    A．（0，1）      B．（-1，0）     C．（0，-1）      D．（1，0）

    ☆我能填

4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．

5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2的解集是________．

6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12的解集是________．

7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x轴的交点是__________．

8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是_________．

    ☆我能答

9．某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，观察图象，回答下列问题：

    （1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？

    （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？

10．在同一坐标系中画出一次函数y₁=-x+1与y₂=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：

    （1）写出直线y₁=-x+1与y₂=2x-2的交点P的坐标．

    （2）直接写出：当x取何值时y₁>y₂；y₁<y₂

    探究园

12．已知函数y₁=kx-2和y₂=-3x+b相交于点A（2，-1）

    （1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．

    （2）利用图象求出：当x取何值时有：①y₁<y₂；②y₁≥y₂

    （3）利用图象求出：当x取何值时有：①y₁<0且y₂<0；②y₁>0且y₂<0

答案:

1．A  2．C  3．D  4．x>2  5．x≥2  6．（-1，0）；x<-1

7．（-3，0）  8．（2，3）

9．①当0<x<1500时，租国有出租车公司的出租车合算；

    ②1500km；③租个体车主的车合算

10．①P（1，0）；②当x<1时y₁>y₂，当x>1时y₁<y₂

11．（1）k=、b=5，∴y=x-2、y=-3x+5  图象略；

    （2）从图象可以看出：①当x<2时y₁<y₂；②当x≥2时y₁≥y₂；

（3）∵直线y₁=x-2与x轴的交点为B（4，0），

直线y₂=-3x+5与x轴的交点为C（，0），

∴从图象上可以看出：

①当x<4时y₁<0，当x>时y₂<0，

所以当<x<4时，y₁<0且y₂<0．

②当x>4时，y₁>0；当x>时y₂<0，

∴当x>4时y₁>0且y₂<0．

试题详情

11．3．1～11．3．2 同步训练

教材基础知识针对性训练

试题详情

11.3.1 一次函数与一元一次方程

知识库

    1．解关于x的方程kx+b=0可以转化为：已知函数y=kx+b的函数值为0，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴的交点的横坐标．

    2．在直角坐标系中，以方程kx-y+b=0的解为坐标的点组成的图象就是一次函数y=kx+b的图象．

魔法师

    例：若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？

    分析：（1）一次函数的图象与两条坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值．

    （2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得．

    解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B．

    令y=0得x=-；令x=0得y=6．

∴A（-，0）、B（0，6）   

∴OA=||、OA=│6│=6  

∴S=OA?OB=|-|×6=24

    ∴│k│=    ∴k=±

演兵场

    ☆我能选

1．直线y=3x+9与x轴的交点是（  ）

    A．（0，-3）      B．（-3，0）     C．（0，3）    D．（0，-3）

2．直线y=kx+3与x轴的交点是（1，0），则k的值是（  ）

    A．3      B．2      C．-2      D．-3

3．已知直线y=kx+b与直线y=3x-1交于y轴同一点，则b的值是（  ）

    A．1      B．-1       C．      D．-

4．已知直线AB∥x轴，且点A的坐标是（-1，1），则直线y=x与直线AB的交点是（  ）

    A．（1，1）     B．（-1，-1）      C．（1，-1）     D．（-1，1）

    ☆我能填

5．直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是______．

6．已知直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______．与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________．

7．已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是________．

8．方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x等于_________时的函数值是8．

    ☆我能答

9．用作图象的方法解方程2x+3=9

10．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？

探究园

11．有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征．

    可心：图象与x轴交于点（6，0）。

    黄瑶：图象与x轴、y轴围成的三角形的面积是9。

    你知道这个一次函数的关系式吗？

答案：

    1．B  2．D  3．B  4．A  5．4  6．（-4，0），（0，8）；16

    7．（-2，0）  8．x=2；2

    9．画直线y=2x-6，图象与x轴的交点的横坐标即方程的解，或先画直线y=2x+3，然后观察当自变量x取何值时函数值为9．

    10．10kg  11．y=-x+3或y=x-3。

试题详情

11.2.2 一次函数同步训练

教材基础知识针对性训练

试题详情