10、(2008甘肃兰州)如图1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．

(1)在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；

(2)如图2，若上有一动点(不与重合)自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒()，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．

答案：解：(1)依题意可知，折痕是四边形的对称轴，

在中，，．

．．

点坐标为(2，4)．

在中，，　 又．

　．　 解得：．

点坐标为

(2)如图①，．

，又知，，

， 又．

而显然四边形为矩形．

，又

当时，有最大值．

(3)(i)若以为等腰三角形的底，则(如图①)

在中，，，为的中点，

．

又，为的中点．

过点作，垂足为，则是的中位线，

，，

当时，，为等腰三角形．

此时点坐标为．

(ii)若以为等腰三角形的腰，则(如图②)

在中，．

过点作，垂足为．

，．

．

，．

，，

当时，()，此时点坐标为．

综合(i)(ii)可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或．

9、(2008海南)如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.

(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；

(2)求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；

(3)若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

答案：解：(1)∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，

∴m=-2×(-2)-1=3.　 ∴ B(-2,3)

∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴ 点A的坐标为(4,0) .　　　　　　　

设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).　

将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即.

(2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).

　过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，

　则BG⊥直线x=2，BG=4.

在Rt△BGC中，BC=.

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5.　

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，

则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，

∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

∴ △DFB≌△DHE (SAS)，

∴ BD=DE.

即D是BE的中点.　　　　　　　　　

(3)存在.　　　　　　　　　　　　　　　

由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，

∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得　 .

∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.

∵ 动点P的坐标为(x，)，

∴ x-1=.　　　　　　　　　　

解得 ，.　 　∴ ，.

∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).

8、(2008四川自贡)抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B(点

B在点A的右侧)，△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b.若关

于的一元二次方程有两个相等的实数根.

(1)判断△ABM的形状，并说明理由.

(2)当顶点M的坐标为(－2，－1)时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形.

(3)若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标.

答案：解：(1)令，得

由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形

(2)设

∵△ABM是等腰直角三角形

∴斜边上的中线等于斜边的一半

又顶点M(－2，－1)

∴，即AB＝2

∴A(－3，0)，B(－1，0)

将B(－1，0) 代入中得

∴抛物线的解析式为，即

图略

(3)设平行于轴的直线为

解方程组

得，　 (

∴线段CD的长为

∵以CD为直径的圆与轴相切

据题意得

∴

解得

∴圆心坐标为和

7、(2008浙江台州)如图，在矩形中，，，点是边上的动点(点不与点，点重合)，过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．

(1)求的度数；

(2)当取何值时，点落在矩形的边上？

(3)①求与之间的函数关系式；

②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？

答案：解：(1)如图，四边形是矩形，．

又，，，

，．

，．

，．

(2)如图1，由轴对称的性质可知，，

，．

由(1)知，，

，．

，，．

在中，根据题意得：，

解这个方程得：．

(3)①当点在矩形的内部或边上时，

，，

，当时，

当在矩形的外部时(如图2)，，

在中，，

，

又，，

在中，

，．

，

，

当时，．

综上所述，与之间的函数解析式是：．

②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，

而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；

当时，根据题意，得：

，解这个方程，得，因为，

所以不合题意，舍去．

所以．

综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．

6、 (2008山东烟台)如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P是抛物线上的一个动点(P不与点A、B重合)，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.

答案：

5、(2008安徽芜湖)如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

(1)求C点坐标及直线BC的解析式;

(2)一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

答案：解:

(1)过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：

△ABO∽△ACD， ∴．

由已知，可知： ．

∴．∴C点坐标为．

　直线BC的解析是为：

化简得：

(2)设抛物线解析式为，由题意得： ，　

解得：

∴解得抛物线解析式为或．

又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．

∴满足条件的抛物线解析式为

(准确画出函数图象)

(3) 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，

故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．

由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为_．

如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，

在Rt△BEF中，，

∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为

同理可求得直线与y轴交点坐标为

∴两直线解析式；．

根据题意列出方程组： ⑴；⑵

∴解得：；；；

∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，_.

4、(2008广西南宁)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)

(1)分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

(注意：在试题卷上作答无效)

答案：解：(1)设=,由图①所示，函数=的图像过(1，2)，所以2=，

故利润关于投资量的函数关系式是=；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过(2，2)，

所以，

故利润关于投资量的函数关系式是；

(2)设这位专业户投入种植花卉万元()，

则投入种植树木()万元，他获得的利润是万元，根据题意，得

=+==

当时，的最小值是14；

因为，所以

所以

所以

所以，即，此时

当时，的最大值是32.

3、(2008江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.

(1)求点A的坐标;

(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

(3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围.

答案：解：(1)∵

∴A(-2,-4)

(2)四边形ABP₁O为菱形时，P₁(-2,4)

四边形ABOP₂为等腰梯形时，P₁()

四边形ABP₃O为直角梯形时，P₁()

四边形ABOP₄为直角梯形时，P₁()

(3)

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x

①当点P在第二象限时，x<0,

△POB的面积

∵△AOB的面积，

∴

∵，

∴

即　　 ∴

∴x的取值范围是

②当点P在第四象限是，x>0,

过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′

则四边形POA′A的面积

∵△AA′B的面积

∴

∵，

∴　　 即　　 ∴

∴x的取值范围是

2、(2008　 湖北　 天门)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．

(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示)

(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？

(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．

答案：解：(1)N()

(2)①AM=AN

,,,

②MN=AM

(舍去)或

③MN=AN

,

(3)不能

当N()时，△OMN为正三角形

由题意可得：,解得：

点N的速度为：

1、如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．

(1)求点，点的坐标．

(2)若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

(3)在(2)的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：(1)

，

，

点，点分别在轴，轴的正半轴上

(2)求得

(每个解析式各1分，两个取值范围共1分)

(3)；；；