5.(08贵州贵阳)25．(本题满分12分)(本题暂无答案)

某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加元．求：

(1)房间每天的入住量(间)关于(元)的函数关系式．(3分)

(2)该宾馆每天的房间收费(元)关于(元)的函数关系式．(3分)

(3)该宾馆客房部每天的利润(元)关于(元)的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？(6分)

4.(08广东深圳)22．如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，

OB＝OC ，tan∠ACO＝．

(1)求这个二次函数的表达式．

(2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

(4)如图10，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

(08广东深圳22题解析)22．(1)方法一：由已知得：C(0，－3)，A(－1，0) …1分

将A、B、C三点的坐标代入得　　　　　　 ……………………2分

解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………3分

所以这个二次函数的表达式为：　　　　　 ……………………3分

方法二：由已知得：C(0，－3)，A(－1，0)　　　　　 ………………………1分

设该表达式为：　　　　　　　　　　　 ……………………2分

将C点的坐标代入得：　　　　　　　　　　　　　　 ……………………3分

所以这个二次函数的表达式为：　　　　　 ……………………3分

(注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)

(2)方法一：存在，F点的坐标为(2，－3) 　　　　　　……………………4分

理由：易得D(1，－4)，所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为(－3，0)　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为(2，－3) 　　　　　　　　　　　　　……………………5分

方法二：易得D(1，－4)，所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为(－3，0)　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………4分

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为(2，－3)或(―2，―3)或(－4，3)　

代入抛物线的表达式检验，只有(2，－3)符合

∴存在点F，坐标为(2，－3)　 　　　　　　　　　　　　………………………5分

(3)如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R(R>0)，则N(R+1，R)，

代入抛物线的表达式，解得　 …………6分

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r(r>0)，

则N(r+1，－r)，

代入抛物线的表达式，解得　 ………7分

∴圆的半径为或．　 ……………7分

(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G(2，－3)，直线AG为．……………8分

设P(x，)，则Q(x，－x－1)，PQ．

　　　　　　　 ……………………9分

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，．　　　 ……………………10分

3.(08广东广州)25、(2008广州)(14分)如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米

(1)当t=4时，求S的值

(2)当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

(08广东广州25题解析)25．(1)t＝4时,Q与B重合，P与D重合，

重合部分是＝

2.(08甘肃白银等9市)28．(12分)如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4，3)．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t(秒)．

(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；

　(2) 当t=　　　 秒或　　　 秒时，MN=AC；

(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

(08甘肃白银等9市28题解析)28． 本小题满分12分

解：(1)(4，0)，(0，3)；　 ·················································································· 2分

(2) 2，6；　 ········································································································· 　4分

(3) 当0＜t≤4时，OM=t．

由△OMN∽△OAC，得，

∴ ON=，S=．　 ···································· 　6分

当4＜t＜8时，

如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4．

方法一：

由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴ BM=6-． ··························· 　7分

由△BMN∽△BAC，可得BN==8-t，∴ CN=t-4． ·································· 　8分

S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积

=12--(8-t)(6-)-

=．　 ··························································································· 10分

方法二：

易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t．·································· 7分

由△BMN∽△BAC，可得BM==6-，∴ AM=．······ 8分

以下同方法一．

　(4) 有最大值．

方法一：

当0＜t≤4时，

∵ 抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，

∴ 当t=4时，S可取到最大值=6； ················ 11分

当4＜t＜8时，

∵ 抛物线S=的开口向下，它的顶点是(4，6)，∴ S＜6．

综上，当t=4时，S有最大值6． ······································································· 　12分

方法二：

∵ S=

∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． ······························ 　11分

显然，当t=4时，S有最大值6．　 ··································································· 　12分

说明：只有当第(3)问解答正确时，第(4)问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，不给分．

1.(08福建莆田)26．(14分)如图：抛物线经过A(-3，0)、B(0，4)、C(4，0)三点.

　 (1) 求抛物线的解析式.

　 (2)已知AD = AB(D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

　(3)在(2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

(注：抛物线的对称轴为)

(08福建莆田26题解析)26(1)解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)

　　 因为B(0，4)在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3

　　 所以抛物线解析式为

解法二：设抛物线的解析式为，

依题意得：c=4且　 解得

　所以　 所求的抛物线的解析式为

(2)连接DQ，在Rt△AOB中，

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =　7 – 5 = 2

因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB

因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB

所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB

　 即

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，　　

所以t的值是

(3)答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小

理由：因为抛物线的对称轴为

所以A(- 3，0)，C(4，0)两点关于直线对称

连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小

过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900

　　 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，　 △DQE ∽△ABO

　 即

所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q(，)

设直线AQ的解析式为

则　 由此得

所以直线AQ的解析式为　 联立

由此得　 所以M

则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。

96.(08广东佛山25题)25．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的(或构造的)几何图形提出相关的概念和问题(或者根据问题构造图形)，并加以研究.

例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题(包括研究的思想和方法).

请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：

(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线(和圆O分别交于点A、B)，根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些(直接写出两个即可)？

(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和(与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D).

请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.

(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.

(08广东佛山25题解答)解：(1) 弦(图中线段AB)、弧(图中的ACB弧)、弓形、求弓形的面积(因为是封闭图形)等.　 (写对一个给1分，写对两个给2分)

(2) 情形1　 如图21，AB为弦，CD为垂直于弦AB的直径.　 …………………………3分

结论：(垂径定理的结论之一).　 …………………………………………………………4分

证明：略(对照课本的证明过程给分).　 …………………………………………………7分

情形2　 如图22，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P.

结论：.

证明：略.

情形3 (图略)AB为弦，CD为弦，且与在圆外相交于点P.

结论：.

证明：略.

情形4　 如图23，AB为弦，CD为弦，且AB∥CD.

结论：　 =　　 .

证明：略.

(上面四种情形中做一个即可，图1分，结论1分，证明3分；

其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的)

(3) 若点C和点E重合，

则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称. …………………………………8分

设，则，.………………………………9分

又D是　　 的中点，所以，

即.………………………………………………………10分

解得.……………………………………………………………11分

(若求得或等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明)

95.(08山东聊城25题)25．(本题满分12分)如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．

(1)要使长方体盒子的底面积为48cm²，那么剪去的正方形的边长为多少？

(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

(08山东聊城25题解答)(本题满分12分)

解：(1)设正方形的边长为cm，则

．························································································ 1分

即．

解得(不合题意，舍去)，．

剪去的正方形的边长为1cm．·············································································· 3分

(注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分)

(2)有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²，

则与的函数关系式为：

．

即．······························································································· 5分

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm²．········ 7分

(3)有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²．

若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．····························· 9分

若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．················································································· 11分

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm²．

说明：解答题各小题只给了一种解答及评分说明，其他解法只要步骤合理，解答正确，均应给出相应分数．

94.(08广东梅州23题)23．本题满分11分．

如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．

(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；

(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

(3)若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?(不必求点P的坐标，只需说明理由)

(08广东梅州23题解答)解： (1) DC∥AB，AD=DC=CB，

　∠CDB=∠CBD=∠DBA，··············································································· 0.5分

　　 ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， ············ 1分

∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60， ·········· 1.5分

　 ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2，　 ········· 2分

RtAOD，OA=1，OD=，··························· 2.5分

A(-1，0)，D(0， )，C(2， )．　 · 4分

(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A(－1，0)，B(3，0)，

故可设所求为　 = (+1)( -3) ······························································ 6分

将点D(0， )的坐标代入上式得， =．

所求抛物线的解析式为　 =　　 ·········································· 7分

其对称轴L为直线=1．······················································································ 8分

(3) PDB为等腰三角形，有以下三种情况：

①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P₁，P₁D=P₁B，

P₁DB为等腰三角形；　 ················································································· 9分

②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃， P₂DB， P₃DB为等腰三角形；

③与②同理，L上也有两个点P₄、P₅，使得 BD=BP₄，BD=BP₅．　 ···················· 10分

由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．

93.(08福建南平26题)26．(14分)

(1)如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．

①如图1，求证：；

②探究：如图1，　　　　 ；

如图2，　　　　 ；

如图3，　　　　 ．

(2)如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．

①猜想：如图4，　　 　　　(用含的式子表示)；

②根据图4证明你的猜想．

(08福建南平26题解答)(1)①证法一：与均为等边三角形，

，························································································ 2分

且··············································· 3分

，

即························································ 4分

．··················································· 5分

证法二：与均为等边三角形，

，························································································ 2分

且························································································ 3分

可由绕着点按顺时针方向旋转得到··································· 4分

．··························································································· 5分

②，，．········································································ 8分(每空1分)

(2)①········································································································ 10分

②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，

，即．····························· 11分

．·························································································· 12分

，，······ 13分

，

········································ 14分

证法二：同上可证　 ．··························································· 12分

，如图，延长交于，

，

································ 13分

················· 14分

证法三：同上可证　 ．··························································· 12分

．

，

························································ 13分

即········································································ 14分

证法四：同上可证　 ．··························································· 12分

．如图，连接，

．···································· 13分

即······························· 14分

注意：此题还有其它证法，可相应评分．

92.24．(本小题满分12分)

如图10，已知点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(9，0)，以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

(24题解答)(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC= ∠COB=90°，

∴ΔAOC∽ ΔCOB，························································································ 1分

∴．

又∵A(–1，0)，B(9，0)，

∴，解得OC=3(负值舍去)．

∴C(0，–3)，

······················································································································ 3分

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)，

∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=，

∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9)，即y=x²–x–3．···························· 4分

(2) ∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，

∴OO′=4，O′(4，0)，····················································································· 5分

∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，

∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，

连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．

∴D(4，–5)．································································································· 6分

∴设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)

∴··························································· 7分

解得

∴直线BD的解析式为y=x–9.····································· 8分

(3) 假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，

解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则．

分两种情况(如答案图1所示)：

①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)．

∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，

因此，点Q₁(7，–4)符合，

∵D(4，–5)，Q₁(7，–4)，

∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y=x–．··································· 9分

解方程组得

∴点P₁坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]．

······················································································································ 10分

②∵Q₁(7，–4)，

∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂(7，4)也符合．

∵D(4，–5)，Q₂(7，4)．

∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x–17．······································ 11分

解方程组得

∴点P₂坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．

······················································································································ 12分

∴符合条件的点P有两个：P₁(，)，P₂(14，25)．

解法二：分两种情况(如答案图2所示)：

①当DP₁∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．

∵B(9，0)，C(0，–3)．

∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x–3．

又∵DP₁∥CB，∴设直线DP₁的解析式为y=x+n．

把D(4，–5)代入可求n= –，

∴直线DP₁解析式为y=x–．························· 9分

解方程组得

∴点P₁坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]．

······················································································································ 10分

②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得ΔNBD≌ΔMDB(SAS)，∴∠NDB=∠CBD．

由①知，直线BC解析式为y=x–3．

取x=4，得y= –，∴M(4，–)，∴O′N=O′M=，∴N(，0)，

又∵D(4，–5)，

∴直线DN解析式为y=3x–17．······································································ 11分

解方程组得

∴点P₂坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．

······················································································································ 12分

∴符合条件的点P有两个：P₁(，)，P₂(14，25)．

解法三：分两种情况(如答案图3所示)：

①求点P₁坐标同解法二．··············································································· 10分

②过C点作BD的平行线,交圆O′于G,

此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．

由(2)题知直线BD的解析式为y=x–9,

又∵ C(0，–3)

∴可求得CG的解析式为y=x–3,

设G(m,m–3)，作GH⊥x轴交与x轴与H，

连结O′G,在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，

由D(4，–5)与G(7，4)可得，

DG的解析式为，··········································································· 11分

解方程组得

∴点P₂坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．························ 12分

∴符合条件的点P有两个：P₁(，)，P₂(14，25)．

说明：本题解法较多，如有不同的正确解法，请按此步骤给分.