2. (2011湖南邵阳，23，8分)数学课堂上，徐老师出示了一道试题：

如图(十)所示，在正三角形ABC中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。

(1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。

证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°，

∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。

∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°。………………②

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中，

∵__________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN(ASA)。

∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”(如图)，N₁是∠D₁C₁P₁的平分线上一点，则当∠A₁M₁N₁=90°时，结论A₁M₁=M₁N₁是否还成立？(直接给出答案，不需要证明)

(3)若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A_nB_nC_nD_n…X_n”，请你猜想：当∠A_nM_nN_n=______°时，结论A_nM_n=M_nN_n仍然成立？(直接写出答案，不需要证明)

[答案]解：(1)∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

(2)结论成立；

(3)。

1. (2011山东济宁，18，6分)观察下面的变形规律：

　＝1－； ＝－；＝－；……

解答下面的问题：

(1)若n为正整数，请你猜想＝ 　　　　　　　　　；

(2)证明你猜想的结论；

(3)求和：+++…+ .

[答案](1)·············· 1分

(2)证明：－＝－＝＝.···· 3分

(3)原式＝1－+－+－+…+－

　　　　 ＝.　　 ………………5分

4. (2011广东湛江20,4分)已知：,

,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算　 　　　　　　　(直接写出计算结果)，并比较　　　　 (填“”或“”或“=”)

[答案]

三 解答题

3. (2011湖南常德，8，3分)先找规律，再填数：

[答案]

2. (2011广东东莞，10，4分)如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，如图(2)中阴影部分；取△A₁B₁C₁和△₁D₁E₁F₁各边中点，连接成正六角星形A₂F₂B₂D₂C₂E ₂F ₂，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A_nF_nB_nD_nC_nE _nF _n的面积为　　　 .

[答案]

1. (2011四川绵阳18，4)观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。

[答案]15

6．(2011广东汕头，20，9分)如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

(1)表中第8行的最后一个数是　　　 ，它是自然数　 　　的平方，第8行共有　　 个数；

(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是　　　 ，最后一个数是　　　　 ，第n行共有　　　 个数；

(3)求第n行各数之和．

[解](1)64，8，15；

　 (2)，，；

　 (3)第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.

二 填空题

5. (2011湖南益阳，16，8分)观察下列算式：

① 1 × 3 - 2² = 3 - 4 = -1　　　　

② 2 × 4 - 3² = 8 - 9 = -1

③ 3 × 5 - 4² = 15 - 16 = -1　　　　　

④ 　　　　　　　　　　　　　

……

(1)请你按以上规律写出第4个算式；

(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；

(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

[答案]解：⑴；　

⑵答案不唯一.如；　　　

　　　　　　 ⑶ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

.

4. (2011内蒙古乌兰察布，18，4分)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有　　　　 个小圆. (用含 n 的代数式表示)

[答案]或

3. (2011广东肇庆，15，3分)如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第(是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是 　　▲　 　．

[答案]