3．解：(1)当　 (1分)

证明：取PD中点E，则EF//CD，且

∴四边形ABFE为平行四边形.　 (3分)

∴BF//AE. 又AE平面PAD　 ∴BF//平面PAD　 (4分)

(2)平面ABCD，即是二面角的平

面角　 (5分)

为等腰直角三角形，

平面PCD　 又BF//AE，平面PCD. 平面PBC，

∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B-PC-D的大小为90°.　 (8分)

(3)在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD

平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.　 (9分)

在，

在代入得：

即点E到平面PBC的距离为　 (11分)

又点A到平面PBC的距离为(12分)

3．[哈尔滨三中东北育才大连育明 天津耀华2005年四校高考模拟联考]

如图已知四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°且AB//CD，AB=CD.

(I)点F在线段PC上运动，且设为何值时，BF//平面PAD？并证明你的结论；

(Ⅱ)二面角F-CD-B为45°，求二面角B-PC-D的大小；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.

2. 解：(1)取

　　 …………3分

　　 (2)取

　　 的距离，由，则B到面的距离为K到面的距离的2倍　　 …………9分

　　 另法一：利用体积相等，

　　 另法二：可利用面

2.[哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2005年高三第二次联合考试数学试卷(理科)]

　　 已知直三棱柱中，，AB=BC=a，，M为上的点。

　　 (1)当M在上的什么位置时，与平面所成的角为；

　　 (2)在(1)的条件下求B到平面的距离。

1.解：(I)

　　 异面直线AD、BC所成角为。　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　 (II)过点P作于E，过点E作于F，连结PF。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

　　 。

　　 设，则在中，，

　　 在中，

　　 在中，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

即P、B两点间距离为时，与所在平面成角。　 12分

1.[2005年山东省临沂市数学模拟试题(文史类)]

　　 如图所示，和都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，

　　 (I)求异面直线AD、BC所成的角。

　　 (II)设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时？与所在平面成角；

24．(本小题满分12分) (2005年高考·全国卷Ⅲ·理18文19)

如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．

　 (Ⅰ)证明AB⊥平面VAD；

　 (Ⅱ)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

　　　 证明：方法一：(Ⅰ)证明：

　 (Ⅱ)解：取VD的中点E，连结AF，BE，

∵△VAD是正三形， ∴AE⊥VD，AE=

∵AB⊥平面VAD， 　∴AB⊥AE.

又由三垂线定理知BE⊥VD.　 因此，tan∠AEB=

即得所求二面角的大小为

方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.

　 (Ⅰ)证明：不防设作A(1，0，0)，

则B(1，1，0)， ，　

由得AB⊥VA.　　 又AB⊥AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直.　 ∴AB⊥平面VAD.

　 (Ⅱ)解：设E为DV中点，则，

由

因此，∠AEB是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小为

23．(本小题满分12分)(2005年高考·全国卷II·理20文20))

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.

(Ⅰ)求证：EF⊥平面PAB；

(Ⅱ)设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.

本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力。满分12分。

证明：(Ⅰ)证明：连结EP， 底面ABCD，DE在平面ABCD内，。

又CE＝ED，PD＝AD＝BC，

F为PB中点，∴由三垂线定理得，∴在中，PF＝AF。

又PE＝BE＝EA，

PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF平面PAB。

　　 (Ⅱ)解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝

∴PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AFPB。

PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB平面AEF。

连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH平面AEF，GAH为AC与平面AEF所成的角。

　由EGC∽BGA可知EG＝，

　由ECH∽EBF可知，

∴

∴与平面所成的角为

22．(本小题满分12分)(2005年高考·全国卷Ⅰ·理18文18)

　　　 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DE=AB=1，M是PB的中点.

　 (1)证明：面PAD⊥面PCD；

　 (2)求AC与PB所成的角；

　 (3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.

方案一：

(Ⅰ)证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解：过点B作BE//CA，且BE=CA，

则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形.　 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=，PB=，　　

(Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=，

.　　 ∴AB=2，

故所求的二面角为

方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A(0，0，0)B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，.

(Ⅰ)证明：因

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解：因

(Ⅲ)解：在MC上取一点N(x，y，z)，则存在使

要使

为所求二面角的平面角.

21．(本小题满分12分)(2005年高考·天津卷·理19文19)

如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点.

(Ⅰ)求与底面ABC所成的角；

(Ⅱ)证明//平面；

(Ⅲ)求经过四点的球的体积.

本小题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

　 (Ⅰ)解：过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H.

　　 连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是

∠A₁AH为A₁A与底面ABC所成的角.

∵∠A₁AB=∠A₁AC， ∴AG为∠BAC的平分线.

又∵AB=AC， ∴AG⊥BC，且G为BC的中点

因此，由三垂线定理，A₁A⊥BC.

∵A₁A//B₁B，且EG//B₁B，　 EG⊥BC　 于是

∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，即

∠AGE=120°

由于四边形A₁AGE为平行四边形，得∠A₁AG=60°，

所以，A₁A与底面ABC所成的角为60°，

　 (Ⅱ)证明：设EG与B₁C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.

在平行四边形AGEA₁中，因F为A₁A的中点，故A₁E//FP.

而FP平面B­₁FC，A₁E//平面B₁FC，所以A₁E//平面B₁FC.

　 (Ⅲ)解：连结A₁C，在△A₁AC和△A₁AB中，由于AC=AB，∠A₁AC=∠A₁AB，

A₁A=A₁A，则△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B，由已知得 A₁A=A₁B=A₁C=a.

又∵A₁H⊥平面ABC，　 ∴H为△ABC的外心.

设所求球的球心为O，则O∈A₁H，且球心O与A₁A中点的连线OF⊥A₁A.

在Rt△A₁FO中，　

故所求球的半径，球的体积