21、正方形ABCD和正方形ABEF折成一个二面角,M、N分别是对角线AC和BF上的点,且AM=FN(如图),求证：MN//平面BEC.

证明：如图，分别过M、N作

MP∥DC交BC于P，NQ ∥EF交

EB于Q，连接PQ ∵EF∥AB∥CD，∴MP∥NQ

又∵AM＝FN，∴在正方形ABEF

和正方形ABCD中，MP=NQ　　

∴ 四边形 MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ，∵

∴MN∥平面EBC　　　　

20、将两副三角板放成如图所示的形状，使二面角D－AC－B成直二面角。

已知：BC=CD，∠ACD=∠ABC=90⁰.求：二面角C－AB－D的大小。

证：如图∵平面ACD^平面ABC，CD^AC，

∴CD^平面ABC.

∵斜线BD在平面ABD上的射影为BC，AB^BC，

∴AB^BD.即∠DBC为二面角

C－AB－D的平面角。

∵BC=CD，CD^BC，∴∠DBC=45⁰翰林汇

19、已知数列{a_n}满足a₁＝2，对于任意的n∈N，都有a_n＞0，

且(n+1)a+a_na_n+1－na＝0，又知数列{b_n}:b₁＝2^n－1+1 (1)求数列{a_n}的通项a_n以及它的前n项和S_n； (2)求数列{b_n}的前n项和T_n； (3)猜想S_n和T_n的大小关系，并说明理由.

解：(Ⅰ)∵

∴。

∴

∴，∴。　　　　　　　　　　　　　　　　 即。

∴。

∴，∴又，∴。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴ 。　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)∵，

∴

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅲ)

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴。　　　　　　　　　　　　　　

猜想：当时，。　　　　　　 即。亦即。

下面用数学归纳法证明：

当时，前面已验证成立；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

假设时，成立，那么当时，

。

∴当时，也成立。　　　　　　　　　　

由以上、可知，当时，有；当时，；

当时，。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

18、在工厂生产中，若机器更新过早，则生产潜力未能充分发挥而造成浪费；若更新过迟，老机器生产效率低，维修与损耗费用大，也会造成浪费.因此，需要确定机器使用的最佳年限(即机器使用多少年平均费用最小) 　　 某工厂用7万元购买了一台新机器，运输安装费2千元，每年投保、动力消耗固定的费用为2千元；每年的保养、维修、更换易损件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，……，即每年增加1千元，问这台机器的最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值.

解：设使用年为最佳年限，则每年的平均费用　　　

　　 (万元)。　　　　　　　　　

当且仅当，即，即时取等号。

答：这台机器最佳使用年限为12年，且年平均费用的最小值为1.55万元。

17、如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上. (1)求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小； (2)求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值； (3)求四棱锥C－A'ADD'的体积.

解：(I)连，则平面于　　　　　　　　　　　　　

∴就是侧棱与底面所成的角　 　　　　　

在中，

∴是等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴，即侧棱与底面所成角为45°，

　 (II)在等腰中，，∴，且O为AC中点，

过O作于E，连。∵平面ABCD于O，

由三垂线定理，知，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴∠是侧面与底面ABCD所成二面角的平面角。

∵∠ABC=，，∴底面ABCD是正方形。

∴。　 在中，。

即所求二面角的正切值为。　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，。

∴。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵，∴。

∵，∴平面，它们的交线是。

过O作，则。

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵的中点，∴点C到平面的距离。

∴。　　　　　　　　　

另解：。

16、已知复数z₁＝2－x+xi，z₂＝y-1+(－y)i，x、y属于R，若|z₁|＝|z₂|且argz₁/z₂=90º，求的值

解：∵　　 ∴

∴

　　　　　　　　　　 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　

　　　 解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴，

∴

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

15、在三角形ABC中，三内角满足A+C＝2B，，求cos的值

解：∵A+C=2B，∴A+C=120°，B=60°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵，∴　　　　　　　　　　

∴　　　　　　　　　　　　　　　

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

令，则上式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴

∵，∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

14、解关于x的不等式：log_a(x²－x－2)＞log_a(x－)+1(a＞0，a≠1)

解：原不等式等价于……①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1°当时，①式可化为

　　　　　　　　 从而即

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2°当时，①式可化为

　　　　　　　 从而　 即　　 ∴Φ　　　　　

综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，不等式的解集为Φ

13、已知：如图，射线OA为y=2x(x>0)，射线OB为y= –2x(x>0)，动点P(x, y)在的内部，于N，四边形ONPM的面积为2..

(I)动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；

(II)确定y=f(x)的定义域.

解：(Ⅰ)设，　 ．

则，

由动点在的内部，得．

∴，

∴

∴　　　　 ①

又，

分别解得，

代入①式消去、，并化简得．

∵，∴．

(Ⅱ)由在内部，得．

又垂足必须在射线上，否则、、、四点不能构成四边形，所以还必须满足条件

∴

所以的定义域为

12、已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：

图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周

图②的过水断面为等腰梯形∥，过水湿周.若与梯形ABCD的面积都为S，

(I)分别求的最小值；

(II)为使流量最大，给出最佳设计方案.

解(Ⅰ)在图①中，设，．

则．由于、、皆为正值，可解得．

当且仅当，即时取等号．

所以．

在图②中，设，．可求得

，

解得．

．

当且仅当，即时取等号．

(Ⅱ)由于，则的最小值小于的最小值．

所以在方案②中当取得最小值时的设计为最佳方案．