7、(2009宣威六中第一次月考)已知数列满足，且

(1)用数学归纳法证明：；

(2)若，且，求无穷数列所有项的和。

解：

6、(2009广州一模)已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的两根，且a₁=1.

(1)求证：数列{ a_n－×2ⁿ}是等比数列；

(2)设S_n是数列{a_n}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得b_n－λS_n>0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.　　　

(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)

(1)证法1：∵a_n，a_n+1是关于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的两根，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，故数列

是首项为，公比为－1的等比数列.　　　　　　　　 ……4分

证法2：∵a_n，a_n+1是关于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的两根，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

∵，

故数列是首项为，公比为－1的等比数列.　　　　　　　

　 ……4分

(2)解：由(1)得，即，

∴

　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

∴S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n=[(2+2²+2³+…+2ⁿ)－[(－1)+ (－1)²+…+(－1)ⁿ]

，　　　　　　　　　　　　 ……8分

要使得b_n－λS_n>0对任意n∈N^*都成立，

即对任意n∈N*都成立.

①当n为正奇数时，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴对任意正奇数n都成立.

当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1.　 　　　　……10分

①当n为正奇数时，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴对任意正奇数n都成立.

当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1.　　　　　 　……10分

②当n为正偶数时，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ－1>0，∴对任意正偶数n都成立.

当且仅当n=2时，有最小值1.5，∴λ<1.5.　　 　……12分

综上所述，存在常数λ，使得b_n－λS_n>0对任意n∈N^*都成立，λ的取值范围是(－∞，1).

……14分

5、(2009上海八校联考)已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。

(1)证明:数列是等差数列；

(2)求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；

(3)对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。

(根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分)

解: (1)依题意有,于是.

所以数列是等差数列.　　　　　　　　　　　 　　　　.4分

(2)由题意得,即 , ()　　　　 ①

所以又有.　　　　　　　　　　　　 ②　　

由②①得：,　所以是常数．　　　　6分

由都是等差数列.

，那么得　　 ,

.　　 (　　　 8分

故　　　　　　　　　　　　　 　 10分

(3) 提出问题①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数

　提出问题②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数

解：问题①　 　　　　　　　　　　　 　11分

当为奇数时,,所以

当为偶数时,所以　 　　

作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：.　　　　　　　　 　　　　　　　13分

当为奇数时,有,即　　　　 ①

， 当, 不合题意.15分

当为偶数时,有 ，,同理可求得　

当时,不合题意. 　　　　　　　　　17分

综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 18分

解：问题②　 　　　　　　　　　　　 　11分

当为奇数时,,所以

当为偶数时,所以 　　　

作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：.　　　　　　　　　 　　　　　　13分

当为奇数时,有,即　　　　 ①

， 当时，. 不合题意．　　　　　　　　　　　15分

当为偶数时,有 ，,同理可求得　 .

；；当时，不合题意．17分

综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为

；；　；18分

4、(2009上海青浦区)设数列的前和为，已知，，，，

一般地，()．

(1)求；

(2)求；

(3)求和：．

(1)；　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　……3分

(2)当时，()

， ……6分

所以，()．　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　……8分

(3)与(2)同理可求得：，　　　　　　　 　　　　　……10分

设=，

则，(用等比数列前n项和公式的推导方法)，相减得

，所以

．　　　　　　　　 　　　　　……14分

即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，

∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有_． 12分

3、(2009台州市第一次调研)已知数列的首项，前n项和.

(Ⅰ)求证：;

(Ⅱ)记，为的前n项和，求的值.

解：(1)由①，得②，

②-①得：.　　　　　　　　 4分

(2)由求得.　　　 7分

∴，　 11分

∴.　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 14分

2、(2009滨州一模)已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中．

(I)求与的关系式；

(II)令，求证：数列是等比数列；

(III)若(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有c_n+1＞c_n成立。

(1)　 解：过的直线方程为

联立方程消去得

∴

即

(2)

∴是等比数列

　 ，;

(III)由(II)知，，要使恒成立由=＞0恒成立，

即(－1)ⁿλ＞-()^n－1恒成立．

ⅰ。当n为奇数时，即λ<()^n－1恒成立．

又()^n－1的最小值为1．∴λ<1．　　　　　　　　　　　　　　 10分

ⅱ。当n为偶数时，即λ>－()^n-1恒成立，

1、(2009杭州二中第六次月考)数列中，其中且，是函数

的一个极值点．

(Ⅰ)证明: 数列是等比数列；

(Ⅱ)求．

(1)由题意得即，

，

当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，

(2)即

，此式对也成立．

4、(2009宁波十校联考)已知是等差数列，，则该数列前10项和=________

答案 100

3、(2009江门一模)是等差数列的前项和，若，，

则　　　　 ．

答案

2、(2009上海八校联考)在数列中，，且，_________。

答案 2550