88. 已知：直线a∥平面．求证：经过a和平面平行的平面有且仅有一个．

证：过a作平面与交于，在内作直线与相交，在a上任取一点P，在和P确定的平面内，过P作b∥．b在外，在内，

∴ b∥

而a∥

∴ a，b确定的平面过a且平行于．

∵ 过a，b的平面只有一个，

∴ 过a平行于平面的平面也只有一个

87. 已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面边长为8，对角线B₁C=10，D为AC的中点．

(1) 求证AB₁∥平面C₁BD；

(2) 求直线AB₁到平面C₁BD的距离．

证明：(1) 设B₁C∩BC₁=O．

连DO，则O是B₁C的中点．

在△ACB₁中，D是AC中点，O是B₁C中点．

∴ DO∥AB₁，

又DO平面C₁BD，AB₁平面C₁BD，

∴ AB₁∥平面C₁BD．

解：(2) 由于三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中点，

∴ BD⊥AC，且BD⊥CC₁，

∴ BD⊥平面AC₁，

平面C₁BD⊥平面AC₁，C₁D是交线．

在平面AC₁内作AH⊥C₁D，垂足是H，

∴ AH⊥平面C₁BD，

又AB₁∥平面C₁BD，故AH的长是直线AB₁到平面C₁BD的距离．

由BC=8，B₁C=10，得CC₁=6，

在Rt△C₁DC中，DC=4，CC₁=6，

在Rt△DAH中，∠ADH=∠C₁DC

∴ ．

即AB₁到平面C₁BD的距离是．

评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB₁∥平面C₁BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．

86. 已知：正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁棱长为a．

(1) 求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；

(2) 求平面A₁BD和平面B₁D₁C的距离．

证明：(1) 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

∵ BB₁平行且等于DD₁，

∴ 四边形BB₁D₁D是平行四边形，

∴ BD∥B₁D₁，

∴ BD∥平面B₁D₁C．

同理 A₁B∥平面B₁D₁C，

又A₁B∩BD=B，

∴ 平面A₁BD∥平面B₁D₁C

解：(2) 连AC₁交平面A₁BD于M，交平面B₁D₁C于N．

AC是AC₁在平面AC上的射影，又AC⊥BD，

∴ AC₁⊥BD，

同理可证，AC₁⊥A₁B，

∴ AC₁⊥平面A₁BD，即MN⊥平面A₁BD，

同理可证MN⊥平面B₁D₁C．

∴ MN的长是平面A₁BD到平面B₁D₁C的距离，

设AC、BD交于E，则平面A₁BD与平面A₁C交于直线A₁E．

∵ M∈平面A₁BD，M∈AC₁平面A₁C，

∴ M∈A₁E．

同理N∈CF．

在矩形AA₁C₁C中，见图9－21(2)，由平面几何知识得

，

∴ ．

评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．

85. 已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC=BC，M、N分别是A₁B₁，AB的中点，P点在线段B₁C上，则NP与平面AMC₁的位置关系是　　　 (　　 )

(A) 垂直

(B) 平行

(C) 相交但不垂直

(D) 要依P点的位置而定

解析：由题设知B₁M∥AN且B₁M=AN，

四边形ANB₁M是平行四边形，

故B₁N∥AM，B₁N∥AMC₁平面．

又C₁M∥CN，得CN∥平面AMC₁，则平面B₁NC∥AMC₁，NP平面B₁NC，

∴ NP∥平面AMC₁．

答案选B．

84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：

①a∥c，b∥ca∥b；

②a∥r，b∥ra∥b；

③α∥c，β∥cα∥β；

④α∥r，β∥rα∥β；

⑤a∥c，α∥ca∥α；

⑥a∥r，α∥ra∥α．

其中正确的命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

(A) ①④　　　　　　　　　　　　　 (B) ①④⑤

(C) ①②③　　　　　　　　　　　　 (D) ①⑤⑥

解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A．

83. 已知：a、b是异面直线，a平面，b平面，a∥，b∥．

求证：∥．

证法1：在a上任取点P，

显然P∈b．

于是b和点P确定平面．

且与有公共点P

∴ ∩＝b′

且b′和a交于P，

∵ b∥，

∴ b∥b′

∴ b′∥

而a∥

这样内相交直线a和b′都平行于

∴ ∥．

证法2：设AB是a、b的公垂线段，

过AB和b作平面，

∩＝b′，

过AB和a作平面，

∩＝a′．

a∥a∥a′

b∥b∥b′

∴AB⊥aAB⊥a′，AB⊥bAB⊥b′

于是AB⊥且AB⊥，∴ ∥．

82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行．

已知：、是两个平面，直线l⊥，l⊥，垂足分别为A、B．

求证：∥思路1：根据判定定理证．

证法1：过l作平面，

∩＝AC，∩＝BD，

过l作平面，

∩＝AE，∩＝BF，

l⊥l⊥AC

l⊥l⊥BD　　　 AC∥BDAC∥，

l、AC、BD共面

同理AE∥，AC∩AE≠，AC，AE，故∥．

思路2：根据面面平行的定义，用反证法．

证法2：设、有公共点P

则l与P确定平面，

且∩＝AP，∩＝BP．

l⊥l⊥AP

l⊥l⊥BP

l、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直，这是不可能的．

故、不能有公共点，∴ ∥．

81. 有三个几何事实(a，b表示直线，表示平面)，① a∥b，② a∥，③ b∥．其中，a，b在面外．

用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例．

解析：Ⅰ： a∥b

　　　　 a∥　 b∥

　　 b在外

Ⅱ：a∥b

　　 b∥　 a∥

　 a在外

Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．

证明：过a作平面与交于

∵ a∥

∵ a∥

而a∥b

∴ b∥且b在外，在内

∴ b∥．

Ⅲ：a∥

　　　　　　 a∥b

　　 b∥

命题：平行于同一个平面的两条直线平行，

这是错的，如右图

20. 已知f(x)是定义域为(0，+∞)的函数，当x∈(0，1)时f(x)＜0．现针对任意正实数x、y，给出下列四个等式：

① f(xy)=f(x) f(y) ；② f(xy)=f(x)+f(y) ；③ f(x+y)=f(x)+f(y) ； ④ f(x+y)=f(x) f(y) ．

请选择其中的一个等式作为条件，使得f(x)在(0，+∞)上为增函数；并证明你的结论．

解：你所选择的等式代号是　　　　 　．　　　　　　　　　　　

19．已知二次函数.

(1)若，试判断函数零点个数；

(2)若对任意且，，试证明存在，

使成立．