30. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱AB，BC，的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面．

解析：∵EN//MF，∴EN与MF 共面，(2分)又∵EF//MH，∴EF和MH共面．(4分)∵不共线的三点E，F，M确定一个平面，(6分)∴平面与重合，∴点H。(8分)同理点G．(10分)故E，F，G，H，M，N六点共面．

29. ⊿ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一点P，PB=PC=，PA=，延长BP至D，使BD=，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.

解析：分别连接PE和CD，可证PE//CD，(2分)则∠PEA即是AE和CD所成角．(4分)在Rt⊿PBE中，

PB=，BE=1，∴PE=。在⊿AEP中，AE=，=．

∴∠AEP=60º，即AE和CD所成角是60º．(7分)

∵AE⊥BC，PE⊥BC，PE//DC，∴CD⊥BC，∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段，(12分)它们之间的距离为1．(14分)

28. 已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, A₁A=AB， E、F分别是BD₁和AD中点.

　　 (1)求异面直线CD₁、EF所成的角；

　　 (2)证明EF是异面直线AD和BD₁的公垂线.

　 (1)解析：∵在平行四边形中，E也是的中点，∴，(2分)

∴两相交直线D₁C与CD₁所成的角即异面直线CD₁与EF所成的角.(4分)又

A₁A=AB，长方体的侧面都是正方形

，∴D₁CCD₁

∴异面直线CD₁、EF所成的角为90°.(7分)

(2)证：设AB=AA₁=a, ∵D₁F=∴EF⊥BD₁(9分)

由平行四边形，知E也是的中点，且点E是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对称中心，(12分)∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD₁，∴EF是异面直线BD₁与AD的公垂线.(14分)

27. 如图，在三角形⊿ABC中，∠ACB=90º，AC=b,BC=a,P是⊿ABC 所在平面外一点，PB⊥AB，M是PA的中点，AB⊥MC，求异面直MC与PB间的距离.

解析：作MN//AB交PB于点N．(2分)∵PB⊥AB，∴PB⊥MN。(4分)又AB⊥MC，∴MN⊥MC．(8分)MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，(10分)其长度就是MC与PB之间的距离， 则得MN=AB=

26. 在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.

解析：四边形EFGH是平行四边形，…………(4分)=2=

25. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF和AD为异面直线.

解析：假设EF和AD在同一平面内，…(2分)，则A，B，E，F；……(4分)又A，EAB，∴AB，∴B，……(6分)同理C……(8分)故A，B，C，D，这与ABCD是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线．

24．设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.

解析： 当直线a，b共面时，可确定一个平面； 当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面．

23．OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直　　

线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长

为_______.

解析：在长方体OXAY-ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZOZ，PYOY，PXOX，有 OX²+OZ²=49，OY²=OX²=9， OY²+OZ²=16，

得 OX²+OY²+OZ²=37，OP=．

22．如图,正四面体(空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等)中,分别是棱的中点, 则

和所成的角的大小是________.

解析：设各棱长为2，则EF=，取AB的中点为M，即

4．2米

解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，CE=米，树影长BE=米，树高AB=BE=米。