2．(2009·黄冈一模)过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．π　 　　　　　　　　 B．2π　 　　　　 C．3π　 　　　　 D．2π

答案：A

解析：如图，截面圆的半径r＝1，S_截面＝πr²＝π，故选A.

1．(2009·河北唐山一模)球的一个截面是半径为3的圆，球心到这个截面的距离是4，则该球的表面积是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．100π　 　　　　　　 B．50π　 　　　 C.π　 　　　　　　　　　　 D.π

答案：A

解析：由已知得球的半径为5，所以S＝4πR²＝100π，故选A.

22．(2009·深圳调考一)(本小题满分12分)如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1.

(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；

(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；

(3)当AD的长为何值时，二面角D－FE－B的大小为60°？

解析：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，

∴CB⊥平面ABEF.

∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，

又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，

∴AF⊥平面CBF.

∵AF⊂平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF.

(2)解：根据(1)的证明，有AF⊥平面CBF，

∴FB为AB在平面CBF上的射影，

因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．

∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，

过点F作FH⊥AB，交AB于H.

AB＝2，EF＝1，则AH＝＝.

在Rt△AFB中，根据射影定理AF²＝AH·AB，得AF＝1，

sin∠ABF＝＝，∴∠ABF＝30°，

∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°.

(3)解：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连结DM.

根据(1)的证明，DA⊥平面ABEF，则DM⊥EF，

∴∠DMA为二面角D－FE－B的平面角，

∠DMA＝60°.

在Rt△AFH中，∵AH＝，AF＝1，

∴FH＝.

又∵四边形AMFH为矩形，∴MA＝FH＝.

∵AD＝MA·tan∠DMA＝·＝.

因此，当AD的长为时，二面角D－FE－B的大小为60°.

21．(2009·安徽，18)(本小题满分12分)如图所示，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD＝.AE、CF都与平面ABCD垂直，AE＝1，CF＝2.

(1)求二面角B－AF－D的大小；

(2)求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积．

命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．

解答：(1)解：连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG.

由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF.

于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B－AF－D的平面角．

由FC⊥AC，FC＝AC＝2，得∠FAC＝，OG＝.

由OB⊥OG，OB＝OD＝，得∠BGD＝2∠BGO＝.

(2)解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD的公共部分为四棱锥H－ABCD.

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，

所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC.

由+＝+＝1，得HP＝.

又因为S_菱形ABCD＝AC·BD＝，

故四棱锥H－ABCD的体积V＝S_菱形ABCD·HP＝.

20．(本小题满分12分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝1，AA₁＝2，N是A₁D的中点，M∈BB₁，异面直线MN与A₁A所成的角为90°.

(1)求证：点M是BB₁的中点；

(2)求直线MN与平面ADD₁A₁所成角的大小；

(3)求二面角A－MN－A₁的大小．

解析：(1)取AA₁的中点P，连结PM，PN.

∵N是A₁D的中点，∴AA₁⊥PN，又∵AA₁⊥MN，MN∩PN＝N，

∴AA₁⊥面PMN.

∵PM⊂面PMN，∴AA₁⊥PM，∴PM∥AB，

∴点M是BB₁的中点．

(2)由(1)知∠PNM即为MN与平面ADD₁A₁所成的角．

在Rt△PMN中，易知PM＝1，PN＝，

∴tan∠PNM＝＝2，∠PNM＝arctan2.

故MN与平面ADD₁A₁所成的角为arctan2.

(3)∵N是A₁D的中点，M是BB₁的中点，∴A₁N＝AN，A₁M＝AM，

又MN为公共边，∴△A₁MN≌△AMN.

在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连结A₁G，则∠A₁GA即为二面角A－MN－A₁的平面角．

在△A₁GA中，AA₁＝2，A₁G＝GA＝，

∴cos∠A₁GA＝＝－，∴∠A₁GA＝arccos(－)，

故二面角A－MN－A₁的大小为arccos(－)．

19．(本小题满分12分)如图，四棱锥S－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝SB＝SC＝2CD＝2，侧面SBC⊥底面ABCD.

(1)由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置；

(2)求二面角E－BC－A的大小．

解析：(1)作SO⊥BC于O，则SO⊂平面SBC，

又面SBC⊥底面ABCD，

面SBC∩面ABCD＝BC，

∴SO⊥底面ABCD①

又SO⊂平面SAO，∴面SAO⊥底面ABCD，

作EH⊥AO，∴EH⊥底面ABCD②

即H为垂足，由①②知，EH∥SO，

又E为SA的中点，∴H是AO的中点．

(2)过H作HF⊥BC于F，连结EF，

由(1)知EH⊥平面ABCD，∴EH⊥BC，

又EH∩HF＝H，∴BC⊥平面EFH，∴BC⊥EF，

∴∠HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角．

在等边三角形SBC中，∵SO⊥BC，

∴O为BC中点，又BC＝2.

∴SO＝＝，EH＝SO＝，

又HF＝AB＝1，

∴在Rt△EHF中，tan∠HFE＝＝＝，

∴∠HFE＝arctan.

即二面角E－BC－A的大小为arctan.

18．(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB＝4，点E在C₁C上且C₁E＝3EC.

(1)证明A₁C⊥平面BED；

(2)求二面角A₁－DE－B的大小．

解析：依题设知AB＝2，CE＝1，

(1)证明：连结AC交BD于点F，则BD⊥AC.

由三垂线定理知，BD⊥A₁C.

在平面A₁CA内，连结EF交A₁C于点G，

由于＝＝2，

故Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C＝∠CFE，∠CFE与∠FCA₁互余．

于是A₁C⊥EF.

A₁C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直．

所以A₁C⊥平面BED.

(2)作GH⊥DE，垂足为H，连结A₁H.

由三垂线定理知A₁H⊥DE，

故∠A₁HG是二面角A₁－DE－B的平面角．

EF＝＝，

CG＝＝ .

EG＝＝.

＝，GH＝×＝ .

又A₁C＝＝2，A₁G＝A₁C－CG＝，

tan∠A₁HG＝＝5.

所以二面角A₁－DE－B的大小为arctan5.

17．(本小题满分10分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．

(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；

(2)假设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；

解析：(1)∵正方形ABCD，∴BD⊥AC，又∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，则BD⊥平面SAC，又BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面SAC.

(2)设AC∩BD＝O，由三垂线定理得BD⊥SO.AO＝AC＝AB＝··2＝，SA＝4，则SO＝＝＝3，S_△BSD＝BD·SO＝·2·3＝6.设A到面BSD的距离为h，则V_S－ABD＝V_A－BSD，即S_△ABD·SA＝S_△BSD·h，解得h＝，即点A到平面SBD的距离为.

16．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．

答案：π

解析：△ABC的外接圆的直径为AC，AC＝，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，

∴CD为球的直径，CD＝＝3，

∴球的半径R＝，

∴V_球＝πR³＝π.

15．(2009·四川，15)如图所示，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是________．

答案：90°

解析：设棱长为a，补正三棱柱ABC－A₂B₂C₂(如图)．平移AB₁至A₂B，连结A₂M，∠MBA₂即为AB₁与BM所成的角，在△A₂BM中，A₂B＝a，

BM＝＝a，

A₂M＝＝a，

∴A₂B²+BM²＝A₂M²，∴∠MBA₂＝90°.