7、(2007· 惠州)若直线经过圆的圆心，则的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．　　　　 B．　　　　 C．4 　　　D．2

解：圆心为，，

6、已知的三个顶点的坐标分别为，，以原点为圆心的圆与三角形有唯一的公共点，求圆的方程

解析：原点到三角形三边的最近距离是1，原点到三角形三个顶点的最远距离是，

故所求圆的方程为或

综合提高训练3-4

5、关于方程表示的圆,下列叙述中:①关于直线x+y=0对称;②其圆心在x轴上;③过原点④半径为.其中叙述正确的是＿＿＿＿(要求写出所有正确命题的序号)

解析: ①③④

　圆心为,半径为,故①③④正确

4、直线截圆所得弦的中点是，则=　　　　

　 解析：圆心，半径，，又

3、方程表示的圆与轴相切于原点，则

　 A．　　　　　　　　 B．　 　　　　

　 C． 　　　　　　 　D．

　　 解析：圆心在轴上，，又圆经过原点，

2、(2009天河区)直线平分圆的周长，则

A．3　　　　 　　 B．5　　　　　 C．－3　　　　　 D．－5

　 解析：直线经过圆心(4，-1)，

1、点()在圆的内部，则的取值范围是　　　　　　　 (　　 )

　　 A．－1<<1　　　 B． 0<<1 　　　 C．–1<< 　　 D．－<<1

解析: 由得－<<1

6．已知满足,则的最小值为　　　　　　　

[解析]

表示圆上的点与点连线的斜率，所以的最小值是直线与圆相切时的斜率，

设直线的方程为，即

由得，的最大值与最小值分别为

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基础巩固训练

5.已知圆的方程为.是该圆过点(3，5)的11条弦的长，若数列是等差数列,则 数列的公差的最大值为　　　　　　

[解析]

圆心坐标为(3，4)，半径为5，圆的弦长的最小值和最大值分别是和10，

数列的公差的最大值为

考点: 与圆有关的最值

题型：求与圆有关的最值

[例4 ]已知圆，求(1)的最大值(2)的最大值与最小值(3)的最小值

[解题思路]根据所求式子的几何意义求解或转化为函数的最值

[解析](1)表示圆上的点到原点的距离的平方

因圆心到点的距离为2，的最大值为3，从而的最大值为9

方法2：设，则

(2)表示圆上的点与原点连线的斜率，所以的最大值与最小值是直线与圆相切时的斜率，

设直线的方程为，

由得，的最大值与最小值分别为和

(3)设，

则

解法2：设，则，

代入圆的方程并化简得：

，解得：

[名师指引](1)与圆有关的最值的求法有：几何法、函数法、判别式法

(2)用几何法时，要见“数”想“形”，即所求式子的几何意义

(3)用函数法时，常用三角换元

[新题导练]

4.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为( )

A. 　　B. 　C. 　D.

[解析]B

设，则，化简得

考点2　 圆的几何性质

题型1：运用圆的几何性质解题

　[例3 ]一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.

[解题思路]因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题，一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形”

　[解析]：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为

(x－3b)²+(y－b)²=9b².

又因为直线y=x截圆得弦长为2，

则有()²+()²=9b²，

解得b=±1.故所求圆方程为

(x－3)²+(y－1)²=9或(x+3)²+(y+1)²=9.

[名师指引]在求圆的方程时，应当注意以下几点：

(1)确定用圆的标准方程还是一般方程；

(2)运用圆的几何性质(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F；

(3)在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数.

[例4 ] 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.

[解题思路]问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点

　[解析]取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.

设动圆圆心为M(x，y)，

⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.

∵AB为⊙O的直径，

∴MO垂直平分AB于O.

由勾股定理得|MA|²=|MO|²+|AO|²=x²+y²+9，而|MC|=|y+3|，

∴=|y+3|.

化简得x²=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.

[名师指引]求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。

[新题导练]