5．(2009·黑龙江大庆一模)设M＝(－1)(－1)(－1)，且a+b+c＝1(a、b、c∈R⁺)，则M的取值范围是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．[0，]　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．(，1)

C．[，1]　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．[8，+∞)

答案：D

解析：由M＝(－1)(－1)(－1)＝··＝··≥··＝8，故选D.

4．(2009·重庆一中)函数y＝(x＞1)的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．2+2　 　　　　　　　　　　　　　　 B．2－2

C．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2

答案：A

解析：∵y＝＝，

∵x－1＞0，

∴x－1++2≥2+2，

当且仅当x－1＝时取“＝”，

即x＝1±时取“＝”．

又∵x＞1，∴x＝1+时取等号．

3．已知正数x，y满足x+2y＝1，则+的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．6　　　　　　 B．5　　　　　　　　　　 C．3+2　　　　　 D．4

答案：C

解析：∵x+2y＝1，∴+＝+＝3++≥3+2.

2．下列函数中，最小值为2的函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．y＝x+

B．y＝sinθ+cosθ(0＜θ＜)

C．y＝sinθ+cosθ(0＜θ＜π)

D．y＝

答案：D

解析：(排除法)答案A中x的正负无法确定，答案B、C中y＝sinθ+cosθ＝sin(θ+)≤，∴只能选D.

(直接法)y＝＝+≥2(当且仅当＝，即x＝0时取等号，)∴选D.

1．(2009·武汉模拟卷)下列不等式的证明过程正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．若a、b∈R，则+≥2＝2

B．若a∈R，则2^a+2^－a≥2＝2

C．若a、b∈R⁺，则lg a+lg b≥2

D．若a∈R^－，则a+≥－2＝－4

答案：B

解析：对于A，＞0即ab＞0时才能成立，而a，b∈R，故A不正确；对于B，a∈R时，2^a＞0,2^－a＞0.∴B正确；对于C，当a，b∈R⁺时，lg a、lg b不能确定一定是正数；对于D，a+≤－4.

16．(2009·福建泉州模拟)设二次函数f(x)＝ax²+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两根x₁、x₂满足1＜x₁＜x₂＜.

(1)当x∈(0，x₁)时，证明x＜f(x)＜x₁；

(2)设函数f(x)的图象关于直线x＝x₀对称，求证：x₀＜.

证明：(1)令F(x)＝f(x)－x，

∵x₁、x₂是方程f(x)－x＝0的根，

∴F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)．

当x∈(0，x₁)时，由于x₁＜x₂，

∴(x－x₁)(x－x₂)＞0.

又a＞0，得F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)＞0，

即x＜f(x)．

又x₁－f(x)＝x₁－[x+F(x)]＝x₁－x+a(x₁－x)(x－x₂)＝(x₁－x)[1+a(x－x₂)]，

∵0＜x＜x₁＜x₂＜，x₁－x＞0，

1+a(x－x₂)＝1+ax－ax₂＞1－ax₂＞0，

∴x₁－f(x)＞0，

即f(x)＜x₁.

综上所述，可知x＜f(x)＜x₁.

(2)由题意知x₀＝－.

∵x₁、x₂是方程f(x)＝0的根，即x₁、x₂是方程ax²+(b－1)x+c＝0的根，

∴x₁+x₂＝－.

∴x₀＝－＝＝.

又∵ax₂＜1，

∴x₀＜＝.

15．已知a，b，c满足：a，b，c∈R⁺时，a²+b²＝c²，当n∈N，n＞2时，求证：aⁿ+bⁿ＜cⁿ.

证明：∵a，b，c∈R⁺，∴aⁿ，bⁿ，cⁿ＞0.

而＝()ⁿ+()ⁿ.

∵a²+b²＝c²，∴0＜＜1,0＜＜1.

∵n∈N，n＞2，∴()ⁿ＜()²，()ⁿ＜()².

∴＝()ⁿ+()ⁿ＜＝1.

∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ.

14．(2009·北京丰台3月摸底)已知函数f(x)＝log_ax(a＞0，且a≠1，x∈R⁺)，若x₁、x₂∈R⁺，判断[f(x₁)+f(x₂)]与f()的大小，并加以证明．

解析：[f(x₁)+f(x₂)]＝(log_ax₁+log_ax₂)

＝log_a(x₁·x₂)＝log_a，

f()＝log_a，

因为x₁、x₂∈R⁺，

所以0＜≤，当且仅当x₁＝x₂时取等号．

(1)当a＞1时，log_a≤log_a，

即(log_ax₁+log_ax₂)≤log_a.

∴[f(x₁)+f(x₂)]≤f()．

(2)当0＜a＜1时，(log_ax₁+log_ax₂)≥log_a.

∴[f(x₁)+f(x₂)]≥f()．

13．(1)已知a∈R，求证：3(1+a²+a⁴)≥(1+a+a²)²；

(2)已知a、b、c为不全相等的实数，

求证：a⁴+b⁴+c⁴＞abc(a+b+c)．

解析：(1)证法一：(分析法)注意到

1+a²+a⁴＝(1+a+a²)(1－a+a²)，

而1+a+a²＝²+>0，

所以原不等式的两边可约去1+a+a²，得3(1－a+a²)≥1+a+a².

移项，得2－4a+2a²≥0，即2(1－a)²≥0.这个不等式显然成立，以上每步均可逆，因此原不等式成立．

证法二：(比较法)

左边－右边

＝3(1+a²+a⁴)－(1+a²+a⁴+2a+2a²+2a³)

＝2(1+a⁴－a－a³)

＝2(1－a)(1－a³)

＝2(1－a)²(a²+a+1)

＝2(1－a)²≥0

∴左边≥右边，原不等式成立．

证法三：(综合法)

²+²+²≥0，展开即得3(1+a+a⁴)≥(1+a+a²)².

证法四：(均值不等式法)

1+a²≥2a,1+a⁴≥2a²，a²+a⁴≥2a³，三式相加，得2(1+a²+a⁴)≥2(a+a²+a³)，

即3(1+a²+a⁴)≥1+a²+a⁴+2(a+a²+a³)

＝(1+a+a²)²

(2)证明：∵a⁴+b⁴≥2a²b²，b⁴+c⁴≥2b²c²，

c⁴+a⁴≥2a²c².

又a，b，c不全相等，

∴上面三式中至少有一个式子不能取“＝”号，

∴a⁴+b⁴+c⁴＞a²b²+b²c²+c²a²①

∵a²+b²≥2ab，∴a²c²+b²c²≥2abc².

同理a²b²+a²c²≥2a²bc，b²c²+b²a²≥2ab²c，

∴a²b²+b²c²+c²a²＞abc²+a²bc+ab²c②

由①，②得a⁴+b⁴+c⁴＞abc(a+b+c)．

12．(2009·吉林白山一模)不等式++＜0，对满足a＞b＞c恒成立，则λ的取值范围是________．

答案：(4，+∞)

解析：∵a＞b＞c，++＜0，

∴＞+，

λ＞+

＝+

＝+++

＝2++≥2+2＝4，

即λ的取值范围是(4，+∞)．