8．(2011·兰州模拟)已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如右图所示，那么不等式xf(x)<0的解集为________．

解析：当0<x<3时，由图象知，满足xf(x)<0的解为：0<x<1，由奇函数的对称性可求．

答案：(－1,0)∪(0,1)

7．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

解析：由题意知，f(1)+f(－1)＝0，

即2(1+a)+0＝0，∴a＝－1.

答案：－1

6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2010)的值为(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　 B．0

C．－2　 　　　　　　　　　　 D．±2

解析：由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，

又g(x)为R上的奇函数，

∴g(－x)＝－g(x)．

∴f(－x－1)＝－f(x－1)，

即f(x－1)＝－f(－x－1)．

用x+1替换x，得f(x)＝－f(－x－2)，

又f(x)是R上的偶函数，

∴f(x)＝－f(x+2)．

∴f(x)＝f(x+4)，即f(x)的周期为4.

∴f(2010)＝f(4×502+2)＝f(2)＝2.

答案：A

5．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x₁，x₂∈(－∞，0](x₁≠x₂)有(x₂－x₁)·[f(x₂)－f(x₁)]＞0.则当n∈N^*时，有(　)

A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n+1)

B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n+1)

C．f(n+1)＜f(－n)＜f(n－1)

D．f(n+1)＜f(n－1)＜f(－n)

解析：由(x₂－x₁)(f(x₂)－f(x₁))＞0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数．

又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈[0，+∞)为减函数．

又f(－n)＝f(n)且0≤n－1＜n＜n+1，

∴f(n+1)＜f(n)＜f(n－1)，

即f(n+1)＜f(－n)＜f(n－1)．

答案：C

4．设函数f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则xf(x)<0的解集是(　)

A．{x|－3<x<0或x>3}

B．{x|x<－3或0<x<3}

C．{x|x<－3或x>3}

D．{x|－3<x<0或0<x<3}

解析：由xf(x)<0得或，

而f(－3)＝0，f(3)＝0，

即或，

因为函数f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，

所以函数在(－∞，0)内也是增函数，

故得－3<x<0或0<x<3.

答案：D

3．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上是(　)

A．增函数且最小值是－5

B．增函数且最大值是－5

C．减函数且最大值是－5

D．减函数且最小值是－5

解析：奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性，因此函数在区间[－7，－3]上单调递增，最小值是f(－7)＝－f(7)＝－5.

答案：A

2．函数y＝lg(－1)的图象关于(　)

A．x轴成轴对称图形

B．y轴成轴对称图形

C．直线y＝x成轴对称图形

D．原点成中心对称图形

解析：函数y＝f(x)＝lg(－1)＝lg

∴函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)

又∵f(－x)＝lg

＝－lg＝－f(x)

∴y＝lg(－1)为奇函数．

∴其图象关于原点成中心对称图形．

答案：D

1．f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)+5g(x)+2，若F(a)＝b，则F(－a)＝(　)

A．－b+4　 　　　　　　　　　　　　　　 B．－b+2

C．b－4　 　　　　　　　　　　　　 D．b+2

解析：∵函数f(x)，g(x)均为奇函数，

∴f(a)+f(－a)＝0，g(a)+g(－a)＝0，

∴F(a)+F(－a)＝3f(a)+5g(a)+2+3f(－a)+5g(－a)+2＝4，

∴F(－a)＝4－F(a)＝4－b.

答案：A

12．设函数f(x)＝ax²－2x+2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围．

解：当a>0时，f(x)＝a(x－)²+2－.

∴或

或，

∴或或

∴a≥1或<a<1或∅，即a>，

当a<0时，根据题意，

得，

解得a∈∅；

当a＝0时，f(x)＝－2x+2，

f(1)＝0，f(4)＝－6，不合题意．

综上可得，实数a的取值范围是a>.

11．(2011·镇江模拟)已知函数f(x)＝ax²－2ax+2+b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.

(1)求a，b的值；

(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．

解：(1)f(x)＝a(x－1)²+2+b－a.

当a＞0时，f(x)在[2,3]上为增函数，

故⇒⇒

当a＜0时，f(x)在[2,3]上为减函数，

故⇒⇒

(2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x²－2x+2.

g(x)＝x²－2x+2－mx＝x²－(2+m)x+2，

∵g(x)在[2,4]上单调，

∴≤2或≥4，∴m≤2或m≥6.