12.已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC=BC=BB₁.求证：

(1)BC₁⊥AB₁；

(2)BC₁∥平面CA₁D.

证明　 如图所示，以C₁为原点，C₁A₁，C₁B₁，C₁C所在直线分别为x轴、y轴、

z轴建立空间直角坐标系.不妨设AC=2，由于AC=BC=BB₁，则A(2，0，2)，

B(0，2，2)，C(0,0,2),A₁(2，0，0)，

B₁(0，2，0)，C₁(0，0，0)，D(1，1，2).

(1)由于=(0，-2，-2)，=(-2，2，-2)，

所以·=0-4+4=0，因此⊥，故⊥.

(2)方法一　 取A₁C的中点E，连接DE，由于E(1，0，1)，

所以=(0，1，1)，又=(0，-2，-2)，所以=-·，

又因为ED和BC₁不共线，所以ED∥BC₁，且DE平面CA₁D，BC₁平面CA₁D，

故BC₁∥平面CA₁D.

方法二　 由于=(2，0，-2)，=(1，1，0)，若设=x+y，

则得，解得，即=-2，所以，，是共面向量，

又因为BC₁平面CA₁D，因此BC₁∥平面CA₁D.

方法三　 求出平面CA₁D的法向量n,证明向量⊥n.设n=(a,b,1),由于=(2，0，-2)，

=(1，1，0)∴,∴∴n=(1，-1，1)，又∵=(0，-2，-2)，

∴n·=2-2=0，∴⊥n，又∵平面CA₁D，∴∥平面CA₁D.

11.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点.

(1)求证：平面AED⊥平面A₁FD₁；

(2)在AE上求一点M，使得A₁M⊥平面ADE.

(1)证明　 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

不妨设正方体的棱长为2，

则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A₁(2，0，2)，D₁(0，0，2)，

设平面AED的法向量为n₁=(x₁，y₁，z₁)，则n₁·=(x₁，y₁，z₁)·(2，0，0)=0，

n₁·=(x₁，y₁，z₁)·(2，2，1)=0，∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0.令y₁=1,得n₁=(0,1,-2),

同理可得平面A₁FD₁的法向量n₂=(0,2,1).∵n₁·n₂=0，∴n₁⊥n₂,∴平面AED⊥平面A₁FD₁.

(2)解　 由于点M在直线AE上，设==(0，2，1)=(0，2，).

可得M(2，2，)，∴=(0，2，-2)，∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，

只需A₁M⊥AE，∴·=(0，2，-2)·(0，2，1)=5-2=0，解得=.

故当=时，A₁M⊥平面ADE.

10.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，

AF=1， M是线段EF的中点.

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

证明　 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设AC∩BD=N，连接NE.

则点N、E的坐标分别为、(0，0，1)∴=.

又点A、M的坐标分别是(，，0)、，

∴=∴=且NE与AM不共线.∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.

(2)由(1)知=，∵D(，0，0)，F(，，1)，

∴=(0，，1).∴·=0.∴⊥.同理⊥.又DF∩BF=F，

∴AM⊥平面BDF.

9.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为BB₁、C₁D₁的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量.

解　 以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.(如图所示).

设棱长为1，则A(1，0，0)，M(1，1，)，N(0，，1).∴=(0，1，)，

=(-1，，1). 设平面AMN的法向量n=(x，y，z)

∴令y=2，∴x=-3，z=-4.∴n=(-3，2，-4).

∴(-3，2，-4)为平面AMN的一个法向量.

8.若|a|=,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且a⊥b,a⊥c,则a=　　　　　 .

答案　 或

7.若A(0，2，)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面内三点，设平面的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　 .

答案　 2∶3∶(-4)

6.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是　　　　　 .

答案　 ①④

5.设点C(2a+1，a+1，2)在点P(2，0，0)、A(1，-3，2)、B(8，-1，4)确定的平面上，则a=　　　　 .

答案　 16

4.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为　　　　 .

答案　 ，-，4

3.已知A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是　　　　 (写出一个即可).

答案