1、直线的倾斜角与斜率:

对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[0⁰，180⁰)

直线的倾斜角α与斜率k的关系:当α时， k与α的关系是；α时，直线斜率不存在；

经过两点P₁(x₁,y₁)P₂(x₂,y₂)(x₁≠x₂)的直线的斜率公式是 ；

三点共线的充要条件是

2.已知点，在直线上求一点P，使最小.

解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.

设，则，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得，∴.

10.已知点A(1,4)，B(6,2)，试问在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由。

[解析]AB=，直线AB的方程为，即，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14，设C的坐标为，则一方面有m-3n+3=0①，另一方面点C到直线AB的距离为，由于三角形ABC的面积等于14，则，，即②或③.联立①②解得，；联立①③解得，.综上，在直线x-3y+3=0上存在点C或，使得三角形ABC的面积等于14.

参考例题：

　1. 将一块直角三角板(角)置于直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏()，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成，问如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积最大？

分析：用点斜式设出直线的方程，直线与直线

的交点可求出，的面积线段的长度和点到

直线的距离来表示

解析：由图知，

设直线的斜率为，直线与不能相交，所以

直线的方程为，

令得

令得

,点到直线的距离为

而函数在上是增函数，

故当取得最大值

9、(华南师大附中2007-2008学年度高三综合测试(三))如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米.

　 (Ⅰ)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AM的长应在什么范围内？

　 　 (Ⅱ)当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.

以AM、AN分别为x、y轴建立直角坐标系，

[解析]

(Ⅰ)以A为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，则

由C在直线MN上得

∴

∴AM的长取值范围是(3，4)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，即

当且仅当即时取等号

所以时，矩形AMPN的面积取得最小值24

8、已知两直线,求分别满足下列条件的、的值．

　(1)直线过点，并且直线与直线垂直；

　(2)直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等．

[解析]解：(1)

即　　　 ①

又点在上，　　 　　　　　②

由①②解得：

(2)∥且的斜率为.　 ∴的斜率也存在，即，.

故和的方程可分别表示为：

∵原点到和的距离相等.　 ∴，解得：或.

因此或.

7、已知直线与轴轴正半轴所围成的四边形有外接圆，则　　　　　 　，的取值范围是　　　　　　

[解析]由题意知

直线与坐标轴交于点和，直线与线段(不含端点)相交，

画图易得的取值范围是

6、求经过直线和的交点，且与原点距离为的直线方程

[解析]解方程组得交点坐标为(-1，-1)，

设直线方程为即

，解得

所求直线方程为

综合提高训练

5、设 ,,若仅有两个元素,则实数的取值范围是　　　　　　

[解析],　 数形结合，注意到直线的斜率为1，当时直线与不可能有两个交点

4、点P(x，y)在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是(　　 )

A. [0，5]　　　　　 B. [0，10]　　　　　 C. [5，10]　　　　　　　 D. [5，15]

解：B. 由得，点P到坐标原点距离的取值范围是[0，10]

3、若直线l：y＝kx－与直线2x+3y－6＝0交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　 )

A．[，)　　　 B．(，)　　　 C．(，)　　　 D．[，)

[解析]B．[直线2x+3y－6＝0与x轴、y轴交于(0，2)、(3，0)将两点坐标代入可得答案]