3.已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点， 求的内接圆的方程；

解法一：设两点坐标分别为，，由题设知

解得，

所以，或，　

设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为

解法二：设两点坐标分别为，，由题设知

又因为，，可得　即

由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上　

设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为　

2. (山东省德州市2008届高中三年级教学质量检测)

如图所示，过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线，M为上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程．

[解析]设边上的高为边上的高为，连接

当时，………………4′

………………8′

在上

………………10′

当时，此时垂心为点B，也满足方程.

而点M与点N重合时，不能使A，M，Q构成三角形，故的垂心的轨迹方程为

………………12′

1. (华南师大附中2007-2008学年第一学期高三期末水平测试)

　　　 已知直线交于A、B两点，过A、B两点的圆与抛物线在A(其中A点在y轴的右侧)处有共同的切线.

　 (1)求圆M的方程；

　 (2)若圆M与直线y=mx交于P、Q两点，O为坐标原点，求证：为定值.

[解析](1)由

　　 抛物线在A处的切线斜率为，设圆的方程为，

　　 由切线性质得　　　　 ①

　　 又圆心在AB的中垂线上，即　 ②　

　　 由①②得圆心

　　 圆M的方程为

　 (2)由

　　 设，

　　 又，　 　

10、(08江苏泰州联考)如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、且与轴及直线分别相切于、两点．

(1)求圆和圆的方程；

(2)过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．

[解析](1)由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半

径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，

即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，

∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即⊙M的半径为1，

则⊙M的方程为，

设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，

　　 即，

　　 则OC=，则⊙N的方程为；

(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦的长度，此弦的方程是，即：，

圆心N到该直线的距离d=，

则弦长=．

参考例题:

9、直线与抛物线交于两点，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程

[解析]由 得点的坐标分别是(6，9)、(－4，4),　　

由 　得

所以抛物线 在点处切线的斜率为,　　　　　　　　　

设圆的圆心为, 方程是

则解得

则圆的方程是　 (或

8、已知点A(–2，0)，B(2，0)，曲线C上的动点P满足，

(1)求曲线C的方程；

(2)若过定点M(0，–2)的直线l与曲线C有交点，求直线l的斜率k的取值范围；

(3)若动点Q(x，y)在曲线C上，求的取值范围.

[解析](1)设P(x，y)，，得

　　　　　　 P点轨迹(曲线C)方程为，即曲线C是圆.

　　　　 (2)可设直线l方程为，其一般方程为：，…6分

由直线l与曲线C有交点，得

，

得，

即所求k的取值范围是;

　　　　 (3)由动点Q(x，y)，设定点M(0，–2)，

则直线QM的斜率为：，

又点Q在曲线C上，故直线QM与圆有交点，由(2)结论，得

k_QM的取值范围是，

∴u的取值范围是.　

7、过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为

A.　　　　　　　　 B. 　　　　　　　

C. 　　　　　　　　D.

[解析]A.

以线段为直径的圆的方程为，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得，这就是经过两切点的直线方程

6、方程ax²+ay²－4(a－1)x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.

[解析](1)∵a≠0时，方程为［x－］²+(y+)²=，

由于a²－2a+2＞0恒成立，

∴a≠0且a∈R时方程表示圆.

(2)r²=4·=4［2(－)²+］，

∴a=2时，r_min²=2.

此时圆的方程为(x－1)²+(y－1)²=2.

综合提高训练

5、已知圆C₁：相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为　　　　　　　 。

[解析] x+y-3=0　 [即两圆的连心线]

4、直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则弦的长为　　　　　　　　

[解析] 4

由直线与直线垂直得m=2,由圆心在直线上得n=-2；