3.指数型的方程和不等式的解法

(Ⅰ)形如的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法；

(Ⅱ)形如或的形式，可借助于换元法转化为二次方程或不等式求解。

★热点考点题型探析

考点1　 指数幂的运算

[例1] (湛江市09届统考)计算：

[解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。

[解析]原式

[名师指引]根式的运算是基本运算，在未来的高考中一般不会单独命题，而是与其它知识结合在一起，比如与二项展开式结合就比较常见

[新题导练]

①指数函数的定义：一般地，函数y=ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数.

②指数函数的图像

③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称.

④指数函数的性质：定义域：R；　 值域：(0，+∞)；过点(0，1)；即x=0时，y=1.

当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数.

画指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图像时，应该抓住两点：一是过定点(0，1)，二是x轴

是其渐近线

★重、难点突破

重点：有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质

难点：综合运用指数函数的图像与性质解决问题

重难点：1.指数型函数单调性的判断，方法主要有两种：

　　　 (1)利用单调性的定义(可以作差，也可以作商)

(2)利用复合函数的单调性判断形如的函数的单调性：若，则的单调增(减)区间，就是的单调增(减)区间；若，则的单调增(减)区间，就是的单调减(增)区间；

2. 指数函数的图像与性质

(Ⅰ) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对

应关系为

(1)y=ax，(2)y=bx，(3)y=cx，(4)y=dx

则

在轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.

(Ⅱ) 指数函数的图像与的图象关于轴对称

10．如图，以棱长为的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的对角线上，点在正方体的棱上。

(1)当点为对角线的中点，点在棱上运动时，

探究的最小值；

(2)当点在对角线上运动，点为棱的中点时，

探究的最小值；

　[解析]由已知，

(1)当点为对角线的中点时，点坐标为，

设，则，

当时，取到最小值为，此时为的中点。

(2)当点为棱的中点时，点的坐标为，设，则，

，，所以点的坐标为，

所以，当，即为的中点时，取到最小值。

9．(2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是(　 )

A．　　　　　 B．　　　　　　　 C．3　　　　　　　 D．

[解析]因为点B在平面内的直线上，故可设点B为，

所以，

所以当时，AB取得最小值，此时点B为。

8．(2007山东昌乐模拟)三角形的三个顶点的坐标为，则的形状为(　 )

A．正三角形　　　　 B．锐角三角形　　　　 C．直角三角形　　　　 D．钝角三角形

[解析] C

7．空间直角坐标系中，到坐标平面，，的距离分别为2，2，3的点有

A.1个　 B.2个　　 C.4个　 D.8个

解析：8个。分别为(3，2，2)、(3，2，-2)、(3，-2，2)、(3，-2，-2)、(-3，2，2)、(-3，2，-2)、(-3，-2，2)、(-3，-2，-2)

6．正方体不在同一表面上的两顶点P(-1，2，-1)，Q(3，-2，3)，则正方体的体积是

[解析] 不共面，为正方体的一条对角线，，正方体的棱长为4，体积为64 　

综合提高训练

5．(2007年湛江模拟)点关于轴的对称点为， 关于平面的对称点为，则=　　　　　　

[解析] ，，

4．(2007山东济宁模拟)设点B是点A(2,-3,5)关于平面的对称点，则|AB|等于(　 )

A．10　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．38

[解析] A

点A(2,-3,5)关于平面的对称点为,

3. 三棱锥中，此三棱锥的体积为(　 )

A．1　　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　　 D． 6

[解析] 两两垂直，