4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC²+BD²=AD²+BC²．它的逆定理是否成立？证明你的结论．

3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：

AF²+BD²+CE²=FB²+DC²+EA²．

2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA²+PC²=PB²+PD²．

　(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)

1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：

　(1)赵君卿图(图2-27)；

　(2)项名达图(2-28)；

　(3)杨作枚图(图2-29)．

52．解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于D，

则AD是该城市离台风中心最短的距离，

在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=220千米，

∴AD=110千米，故城市A受到此次台风影响．

(2)在BC上取E、F两点，使AE=AF=160，

当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到台风的影响．

在Rt△ADE中，DE=≈116.19千米，

∴EF≈232.38(千米)，

故这次台风影响该城市的连续时间约为≈15.49(小时)．

当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，

其最大风力为12-=6.5级．

　　 点拨：该城市是否会受到此次台风的影响，取决于该城市距台风中心的最近距离，若大于160km，则不受台风影响．风力达到或超过4级称受台风影响，故该城市从开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度即为影响的时间，在离台风中心最近处风力最大．

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51．(1)解：当S=150时，k===5，

所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；

(2)证明：三边为3、4、5的整数倍，

设为k倍，则三边为3k，4k，5k，

而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．

其面积S=(3k)·(4k)=6k²，

所以k²=，k=(取正值)，

即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．

50．(1)方法1c-a=(m²+1)-m=(m²-2m+1)=(m-1)²>0，c-b=1>0，

所以c>a，c>b．而a²+b²=m²+[(m²-1)] ²=(m⁴-2m²+1)+m²

=(m⁴+2m²+1)=[(m²+1)] ²=c²，

所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

　　 同理可证方法2．

(2)方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．

方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．

　　 (3)120．

49．解：若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²>c²；

若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a²+b²<c²．

证明：

①当△ABC是锐角三角形时，如图18-3，

过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，

根据勾股定理，得b²-x²=c²-(a-x)²．

　　 即b²-x²=c²-a²+2ax-x²，∴a²+b²=c²+2ax．

∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a²+b²>c²．

②当△ABC是钝角三角形时，如图18-4，

过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，

设CD为x，则BD²=a²-x²．

　　 根据勾股定理，得(b+x)²+a²-x²=c²．

　　 即b²+2bx+x²+a²-x²=c²．

　　 ∴a²+b²+2bx=c²．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a²+b²<c²．

49．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图18-2(1)，根据勾股定理，则a²+b²=c²，若△ABC不是直角三角形，如图(2)和图(3)，请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论．

48．当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价

　　 ∵CD·AB=AC·BC　 ∴CD=错误！不能通过编辑域代码创建对象。=48米

　　 ∴AD=错误！不能通过编辑域代码创建对象。=64米

　　 所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．