2、一元二次方程与二次函数的关系。

1、二次函数的三种表示方法：(1)一般式(2)顶点式

(3)两点式

(三)、同步练习：

1、下列各函数解析式中，满足的是　 　　　　(　　 )

　 (A) 　　　(B)　　 (C) 　　(D)

答案：C

2、已知，且 ，则等于　　　　　　　　　 (　　 )

(A)　 　　　(B)　　 (C) 　　(D)

答案：A

3、已知，则函数的解析式为　　　　　　　　　 (　　 )

(A)　　　　　　　　　 (B)

(C)　 (D)

答案：C

4、已知，则的解析式可取为等于(　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

答案：C

5.设函数若则关于x的方程的解的个数为(　 )

(A)1　　　　　 (B)2　　　　　　 (C)3　　　　 (D)4　

答案：C

6、若函数满足关系式，则的表达式为__________

答案：　

7、设函数的图象为，若函数的图象与关于轴对称，则的解析式为________________.

答案：、

8、若一次函数y=f (x)在区间上的最大值为3，最小值为1，则y=f (x)的解析式为_____________．

答案：或　

9、已知是奇函数,是偶函数,且,则=　　　 ___

答案：

10、二次函数满足，且。⑴ 求的解析式；

⑵ 在区间上，的图象恒在的上方，试确定的范围。

答案(1)　 (2)

11、已知，当点在函数的图象上运动时，点 在 函数的图象上运动

(1)　　　　　 写出的解析式；

(2)　　　　　 求出使的x 的取值范围；

(3)　　　　　 在(2)的范围内，求的最大值。

答案：(1)　(2)　(3)

第四篇　 二次函数问题

(二)、例题演练：

例1、求下列函数的解析式：

(1)已知，求；

(2)已知，求；

(3)已知，求

［解析］(1)

(2)解法一(拼凑法)：，而故所求的函数

解法二(换元法)：令，则，

∴

故所求的函数为

(3)令，则，∴，

即.与原式联立，得

解得

∴所求的函数为

［点评］由的解析式，求出函数后，应注意函数的定义域。此时的取值不仅要使有意义，同时还要使也有意义，也就是的定义域包含于的值域之中。

例2、设二次函数满足，且图象在轴上的截距为1，被截得的线段长为，求的解析式。

［解析］解法一：设.由得 ①；

又，∴　 ②；

又由已知得　 ③；

由①②③得，∴

解法二：，故的图象有对称轴，可设依题意可设设，有

解法三：∵的图象有对称轴，又，

∴与轴的交点为

故可设

∵，∴(其余略)。

［点评］三种方法均是待定系数法求二次函数的解析式，可以得到充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性，是简化运算的有效手段。

［例3］设是R上的函数，且满足，并且对任意实数、有，求的表达式。

［解］解法一：由，

设，得

∵，∴，

即。

又令，代入上式得，

∴

[点 评]：赋值法(亦称特殊值法)，可以取特殊值，亦可以是变量换变量，然后通过解方程组求出参数。

例4、(1)已知，且，求

(2)已知，若，且，试求的表达式。

［解析］(1)∵，

∴

∴或

(2)∵，∴，，

∴∴

［点评］此题通过待定系数法来求函数的解析式。这是已知函数类型求其解析式的常用方法。

例5、已知函数与的图象关于点(--2，3)对称，求的解析式。

解：设上任意一点为，则在上，代入整理得

(一)、知识回顾：

1、求函数解析式的常用方法：

ⅰ、换元法( 注意新元的取值范围)

ⅱ、待定系数法(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)

ⅲ、整体代换(配凑法)

ⅳ、构造方程组(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)

2、求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

3、理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

1：如图所示，单位圆中弧AB的长为表示弧AB与弦AB

所围成的弓形面积的2倍，则函数的图象是　　　　　 　　

答案：( D )

设计意图：考察图象与式子运算的能力

2、为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：

则7月份该产品的市场收购价格应为　　　　　 (　　 )

A．69元　 　　　　　　　　 B．70元　　　　　　　　　　　　 C．71元　　　　　　　　　　　　 D．72元

答案：C

3、已知函数是上的增函数，是其函数图象上的两点，那么的解集的补集是：(　 )

答案：D

4、方程的实根的个数为(　　 )A：0　 B：1　 C：2　 D：3

答案D

5．为了得到函数的图象，可以把函数的图象(　 )

A．向左平移3个单位长度　　　　　　　　　　　　　　　 B．向右平移3个单位长度

C．向左平移1个单位长度　　　　　　　　　　　　　　　 D．向右平移1个单位长度

［解析］∵，∴由的图象向右平移1个单位长度。

6．已知函数，则的图象为图中的(　 )

［解析］，这是把函数的图象向右平移1个单位而得。

故选C。

7。要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。

答案：轴，右

　 8。已知是偶函数，则的图像关于__________对称；已知是偶函数，则函数的图像关于____________对称.

答案：直线；直线　　　　　

9、写出函数的图像经过怎样的变换可得到函数的图像。

答案、左移1个单位

10、 若,则方程有几个实根

答案：(1)　2个　　

11、设曲线C的方程是,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线。 (1)写出曲线的方程；(2)证明曲线C与关于点对称

答案：(1)(2)略

12、将函数的图像沿x轴向右平移1个单位，得到图像C，图像C₁与C关于原点对称，图像C₂与C₁关于直线y=x对称，求C₂对应的函数。

答案、

13、试讨论方程的实数根的个数。

答案、时有一解；当时有二解；当无解　

14、设a是常数，函数f(x)对一切实数x都满足，求证函数f(x)的图像关于点(a,0)成中心对称图形。

答案：略

第三篇 函数的解析式问题

(二)例题演练：

例1．函数的图象是(　 )

［解析］该题考查对图象以及坐标平移公式的理解，将函数的图象变形到，即向右平移一个单位，再变形到，即将前面图象沿轴翻转，再变形到，即将前面图象再向上平移一个单位，从而得到答案B。

例2．如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，恒成立”的只有(　 )

［解析］为自变量的中点，对应的函数值即“中点的纵坐标”，为自变量对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”。再结合函数图象的凹凸性，可得到答案A，这是函数凹凸性的基本应用。故选A。

例3、利用函数的图象，作出下列各函数的图象：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)

［解析］利用指数函数的图象及变换作图法可作要作的函数图象，其图象如图(1)-(5)中的实线部分。

［例4］已知，且1，函数与的图象只能是图中的(　 )

［分析］可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数对图象的影响。

解法一：首先，曲线只可能在上半平面，只可能在左半平面上，从而排除A、C。

其次，从单调性着眼，与的增减性正好相反，又可排除D。

解法二：若，则曲线下降且过点(0,1)，而曲线上升且过，以上图象均不符合这些条件. 若时，则曲线上升且过(0,1)，而曲线下降且过，只有B满足条件。

解法三：如果注意到的图象关于轴的对称图象为，又与互为反函数(图象关于直线对称)，则可直接选定B。

［答案］B

［例5］作出的图象.

［分析］利用图象变换作图(如图)

［解析］第一步：作出的图象(图①).

第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位得的图象(图②).

第三步：将的图象在轴下方的图象，以轴为对称轴对称到轴的上方得的图象)(图③).

第四步：将的图象沿轴方向向上平移2个单位，得到的图象(图④).

［点评］(1)一般地，函数的图象可由函数的图象变换得到。

将的图象向左或向右平移个单位可得到函数的图象，向下或向上平移个单位可得到函数的图象(记忆口诀：上加下减)。

(2)含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换，一般地，的图象是关于对称的轴对称图形；函数的图象与的图象在轴上方相同，在轴下方关于轴对称。

(3)的图象的图象关于轴对称，的图象与的图象关于轴对称。

［例6］函数与函数的图象如右，则函数·的图象是(　 )

［解析］由图象可知，是偶函数，是奇函数，且与的公共定义域为，排除C、D。令·，则·，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B。故选A。

(一)知识方法

1.用描点法作函数的图象.

2.正比例函数、反比例函数、二次函数的图象及几种基本初等函数的图象.

3.图象变换与变量替换的关系

　(1)平移变换((2)变换作图法：

①平移：；

②对称：；

；

.

③其他：；

［例］作函数的图象时，先用虚线作的图象，再保留轴右边图象，并把它对称翻到轴左边，即得到的图象，如图所示。

4．作函数图像的一般步骤是：

(1)求出函数的定义域；(2)化简函数式；(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性)以及图像上的特殊点、线(如极值点、渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图像画出所给函数的图像。

(1)引理证明

已知函数.若在区间 )上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 )上是增函数.

证明：在区间)内任取两个数，使

因为在区间)上是减函数，所以,记, 即

因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，

故函数在区间)上是增函数.

(2)．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

	增 ↗	减 ↘
	增 ↗	减 ↘	增 ↗	减 ↘
	增 ↗	减 ↘	减 ↘	增 ↗

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

(3)、复合函数的单调性判断步骤：

ⅰ　 确定函数的定义域；

ⅱ　 将复合函数分解成两个简单函数：与。

ⅲ　 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ　 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数，或都是减函数)，则复合后的函数为增函数；　 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数，而另一个是减函数)，则复合后的函数为减函数。

(4)例题演练

例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明

解：定义域

单调减区间是　 设 则

=

∵　 ∴　

∴>　　 又底数

∴　　 　即

∴在上是减函数

同理可证：在上是增函数

［例］2、讨论函数的单调性.

［解］由得函数的定义域为

则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.

若，∵为减函数.

∴为减函数。

当时，若，则为减函数，若，则为增函数.

例3、.已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2->0是减函数

由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，

∴a＞1

由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,

∴1＜a＜2

当0<a<1时，函数t=2->0是增函数

由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，

∴0<a<1

由x［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0<a<1

综上述，0<a<1或1＜a＜2

例4、已知函数(为负整数)的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知，得，

其中 ∴即，

解得

∵为负整数，∴

∴，

即 ，

∴

假设存在实数，使得满足条件，设，

∴

∵，当时，为减函数，

∴，∴

∵,∴,

∴,

∴　　　　　　　 ①

当时, 增函数,∴

∵,∴,

∴.　　　　　　　 ②

由①、②可知，故存在

(5)同步练习：

1．函数y＝(x²－3x+2)的单调递减区间是(　)

A．(－∞，1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(2，+∞)

C．(－∞，)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(，+∞)

解析：先求函数定义域为(－o，1)∪(2，+∞)，令t(x)＝x²+3x+2，函数t(x)在(－∞，1)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝(x²－3x+2)在(2，+∞)上单调递减．

答案：B

2找出下列函数的单调区间.

(1)；

(2)

答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。

(2)单调增区间是，减区间是。

3、讨论的单调性。

答案：时为增函数，时，为增函数。

4．求函数y＝(x²－5x+4)的定义域、值域和单调区间．

解：由(x)＝x²－5x+4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈(－∞，1)∪(4，+∞)，当x∈(－∞，1)∪(4，+∞)，{｜＝x²－5x+4}＝R⁺，所以函数的值域是R⁺．因为函数y＝(x²－5x+4)是由y＝(x)与(x)＝x²－5x+4复合而成，函数y＝(x)在其定义域上是单调递减的，函数(x)＝x²－5x+4在(－∞，)上为减函数，在［，+∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝(x²－5x+4)的增区间是定义域内使y＝(x)为减函数、(x)＝x²－5x+4也为减函数的区间，即(－∞，1)；y＝(x²－5x+4)的减区间是定义域内使y＝(x)为减函数、(x)＝x²－5x+4为增函数的区间，即(4，+∞)．

第二篇　 函数图象问题

数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.

(二)同步练习：

1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。

答案：

2、 已知函数的定义域为，求的定义域。

答案：

3、 已知函数的定义域为，求的定义域。

答案：

4、设，则的定义域为(　　　 )

　 A. 　　　　　　　　　　　　B. 　　

C. 　　　　　　　　　　　　D.

解：选C.由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为

5、已知函数的定义域为，求的定义域。

［解析］由已知，有

(1)当时，定义域为；

(2)当，即时，有，

定义域为；

(3)当，即时，有，

定义域为.

故当时，定义域为；

当时，定义域为

［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。