4.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(x－y)＝2[f(x)+f(y)]，则函数f(x)是(　 )

(A)奇函数非偶函数　　　　　　　 (B)偶函数非奇函数

(C)既是奇函数又是偶函数　 　　　(D)非奇非偶函数

3、.已知函数f(x)对一切实数x、y满足：f(0)≠0，

f(x+y)＝f(x)f(y)，且当x＜0时，f(x)＞1，则当x＞0时，f(x)的取值范围是(　 )

(A)(1，+∞)　　　　　　　　　 (B)(－∞，1)

(C)(0，1)　　　　　　　　　　　 (D)(－1，+∞)

2. 若对任意实数x、y总有，则下列各式中错误的是(　 )

(A)f(1)＝0　　　　　　　　　　 (B)　

(C)＝ f(x)－f(y)　　　 (D)(n∈N)

1.已知：对任意实数都成立，则(　 )

(A)f(0)＝0　　　　　　　　　　 (B)f(0)＝1　

(C)f(0)＝0或1　　　　　　　　 (D)以上都不对

［例1］已知函数对任意，总有，且当时，

(1)求证在R上是减函数；

(2)求在上的最大值和最小值。

［解析］(1)令，令可得，

在R上任取

则

∵，∴

又∵时，，∴，

即

同定义可知在R上为单调递减函数。

(2)∵在R上是减函数，∴在上也是减函数。

∴最大，最小。

∴

即在上最大值为2，最小值为

［点评］抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。

［例2］已知的定义域为R，对任意，有 ，且

(1)求证：；

(2)求证：为偶函数。

［解析］(1)由题意得：

令，则，则

∵∴

(2)令，则

∴. ∴函数是偶函数。

［点评］对于这类问题的求解，充分运用、为任意实数这一条件，对、取定一些特殊值，如等。

[例3]、定义在上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求的取值范围。

［解］因为函数在上是偶函数，

则由，

可得到

因为偶函数图象关于轴对称，

所以有.又当时，

单调递减，得到解之得

[点评]利用偶函数这一特性解决有关抽象函数的问题可以避免分类讨论。

［例题4］函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。

［分析］注意，不等式可转化为，联系在上递增，不难得出

还要注意，是奇函数，它在对称区间上的单调性相同，且=0，于是又得，即

分别解两个不等式即可。

［解析］解不等式，得或

解不等式，得

∴原不等式的解集是

［点评］在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反。

到目前为止常见抽象函数与我们已学过的具体函数的对应关系如下表：

抽象函数模型	具体函数模型(举其中一例)
	，(

(三)、|同步练习：

1．设，二次函数的图象为下列之一：

则的值为(　 )

A．1　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

［解析］∵，∴图象①②不可能，又③④过原点O，∴，即，故，又，如果，则，与③④图象矛盾. ∴，故选B。

2．方程的两根都大于2，则的取值范围是(　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

［解析］令要使的两根都大于2，则

解得

故选A。

3、已知关于的方程，探究

为何值时(1)方程有一根(2)方程有一正一负两根(3)两根都大于1(4)一根大于1一根小于1

答案：(1)(2)(3)无解(4)

4、若关于的方程在(0，1)内恰有一解，求实数的取值范围。。

答案：

5、已知二次函数的两个零点且其图象的顶点恰好在的图象上。

(1)求的解析式。

(2)设在的最小值为，求的表达式

答案：(1)

(2)

6．设，若0，求证：

(1)方程有实根；

(2)；

(3)设是方程的两个实根，则

［解析］(1)若，则

与已知矛盾，

∴

方程的判别式，

由条件，消去，得

故方程有实根.

(2)由，得

由条件，消去，得

∵

∴

故

(3)由条件，知，

∴

∵

∴

故

7．已知二次函数设不等式的解集为A，又知集合若，求的取值范围。

［解析］由为二次函数

令解得其两根为

由此可知

(1)当时，

的充要条件是，即

解得

(2)当时，

的充要条件是，即

解得.

综上，使成立的的取值范围为

8、(1)求的值域

(2)关于的方程有解，求实数的范围。

解析：本题是可转化为二次函数区间最值问题的题目。

答案：(1)　 (2)

第五篇、抽象函数问题

一 定义：是指概括总结出一类函数所具有的共同特性，而没有给出具体的解析式(或图象)的一类函数，中学阶段的抽象函数，一般是以所学的基本函数为背景，概括其共同的本质特征而形成的。因此，在学习中要注意总结概括基本函数的共同特征，从特殊到一般，从具体到抽象，建立抽象函数与具体函数的对应关系。

例1、求在区间上的最大值和最小值。

［分析］解决这类问题的关键是判别函数的定义域各区间上的单调性，再利用函数的单调性解决问题。

［解析］，对称轴为.

(1)当时，由图(1)可知，

，

　　　 (1)　　　　　　　　 (2)

(2)当时，由图(2)可知，

，

(3)当时，由图(3)可知，

，　　　　　　　

(3)　　　　　　　　 (4)

(4)当时，由图(4)可知，

，

［点评］(1)利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性。

(2)求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答。

例2、已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。

［解析］首先应搞清二次项系数是否为零，如果的最大值与二次函数系数的正负有关，也与对称轴的位置有关，解答时必须用讨论法。

时，，

在上不能取得1，故.

的对称轴方程为

(1)令，解得，

此时，

因为，最大，所以不合适。

(2)令，解得，

此时，

因为，且距右端点2较远，所以最大，合适。

(3)令，得，

验证后知只有才合适。

综上所述，，或

［点评］这里函数的最大值一是与的符号有关。另外也与对称轴和区间的端的远近有关，不分情况讨论就无法确定

例3、(1)关于的方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求的取值范围；

(2)关于的方程有两实根，在内，求的取值范围；

(3)关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求的取值范围.

［解析］(1)令，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于(思考：需要吗？)，即

(2)令，原命题等价于

(3)令，依题得

或得

[评注]求解二次方程根的分布问题，结合二次函数图象，主要考虑三个方面的问题(1)判别式(2)对称轴(3)区间端点函数值

例4：已知二次函数．

(1)若a>b>c，　且f(1)=0，证明f(x)的图象与x轴有2个交点；

(2)在(1)的条件下，是否存在m∈R，使得f(m)=－ a成立时，f(m+3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；

(3)若对，方程有2个不等实根，

解:　(1)

的图象与x轴有两个交点.

(2)，∴1是的一个根，由韦达定理知另一根为，

∴

　在(1，+∞)单调递增，，即存在这样的m使

　(3)令，则是二次函数.

　有两个不等实根，且方程的根必有一个属于.

例5：(1)已知函数，若有解，求实数的取值范围；

(2)已知，当时，若恒成立，求实数的取值范围。

解：(1)有解，即有解有解有解所以

(2)当时，恒成立又当时，，所以

点评：“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：(1)恒成立；(2)恒成立;(3)有解；(4)有解

例6:(1)若函数在区间上有意义，求实数的取值范围；

(2)若函数的定义域为，求实数的取值范围。

解：(1)由题意知，当时，恒有，即恒有

.

又因为在上单调递增，所以 ，所以

(2)由题意知，不等式，即的解是，易解得，，

则，解方程，得

[点评]：“有意义”与“定义域”是两个不同的概念。一般地，在某个条件下函数“有意义”，是指在该条件下，使得函数有意义的某个式子总成立；而若某个条件为函数的“定义域”，则是指使得函数有意义的自变量的范围就是该条件。

4、．二次函数的图象与二次方程根的分布

由于二次函数图象与轴交点的横坐标即为二次方程的根，所以我们通常可借助二次函数的图象来讨论二次方程的实根分布情况。

3、一元二次函数在区间的最值问题。