例3：设集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，B=

{x|x²+2(a+1)x+a²-1=0，x∈R}，若BA，

求实数a的取值范围．

分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素，

　　 在由BA，可知，集合B按元素的

多少分类讨论即可．

[解]

　 A={x|x²+4x =0，x∈R}={0，-4}

∵　 BA

　∴ B=或{0}，{-4}，{0，-4}

①当B=时，⊿=[2(a+1)]2-4•(a²-1)<0

　∴　 a< -1

②当B={0}时，

　∴　　 a=-1

③当B={-4}时，

　∴　 a=

④当B={0，-4}时，

　　　 ∴　 a=1

∴ a的取值范围为：a<-1，或a=-1，或a=1．

点评:

B=易被忽视，要提防这一点．

4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．

　 (1) 与{0}　　　 (2) {-1，1}与{1，-1}

　 (3) {(a,b)} 与{(b,a)}

　 (4)　 与{0，1，}

3．(1)已知{1，2 }M{1，2，3，4，

5}，则这样的集合M有多少个？

　 (2)已知M={1，2，3，4，5，6， 7

,8，9}，集合P满足：PM，且

若，则10- ∈P，则这样

的集合P有多少个？

2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．

(1)　 A={-1，1}，B=Z；　　　　　　　

(2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正

约数}；

(3)　 A = N*，B=N

(4)　 A ={x|x=1+a²,a∈N*}

　　　 B={x|x=a²-4a+5,a∈N*}

例2：

以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．

(1)a与{a}　　 0 与

　 (2)与{20，，，}　　

　 (3)S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，

B={-2，2}；　　　　　　　

　 (4)S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；

(5)S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 }

[解]

点评:

① 判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等．

②元素与集合之间用_______________

　集合与集合之间用_______________

追踪训练一

1．判断下列表示是否正确：

　 (1)　 a{a }　　 　(2) {a }∈{a，b }

(5) 　　　　　{-1，1}

例1．

①　　 写出集合{a，b}的所有子集及其真子集；

②　　 写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集；

分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，

　　　 但应注意两个特殊的子集：和本身．

[解]

　 ①集合{a，b}的所有子集为：

　　　 ，{a }，{ b}，{a，b}；

　 ②集合{a，b，c}的所有子集为：

　　 ，{a }，{ b}，{c}，{a，b}

　　 {a，c}，{b，c}，{a，b，c}．

点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．

①一个集合里有n个元素，那么它有2ⁿ个子集；

　②一个集合里有n个元素，那么它有2ⁿ-1个真子集；

　③一个集合里有n个元素，那么它有2ⁿ-2个非空真子集．

2．已知A={x|}，试用列举法表示集合A．

思维点拔：

例5． 已知集合B={x|}有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A.

点拔：

本题集合B={x|}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次方程的判别式为0，事实上当a=时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程，而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论 .

[解]

当x²-2≠0时，x+a=x²+a　　

⊿=0a=-，此时，x=，符合题意，

　 当a=时，x=，符合题意，

　 当a=-时，x=，也符合题意，

　　　 ∴　 A={，，-}

[师生互动]

例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a²,b²}，且Q=P，求1+a²+b²的值．

分析：含字母的两个集合相等，并不意味着 按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.

[解]

分两种情况讨论：①

　 1+a²+b²=2

　 ②　 这与集合的性质矛盾，

　　　 ∴　 1+a²+b²=2

追踪训练

1．集合A={x|y=x²+1}，B={t|p=t²+1}

　 C={y|x =}，这三个集合

　 的关系？

3. 下列集合表示法正确的是

　(1) {1，2，2}；

　(2) {Ф}；

　(3) {全体有理数}；

(4) 方程组的解的集合为

{2，4}；

(5)不等式x²-5>0的解集为{x²-5>0}.

例3．已知A={a|}，

试用列举法表示集合A．

分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪

　些条件．

[解]

当a=2时，

当a=1时，

当a=0时，

当a=-1时，

　当a=-2时，

当a=-3时，

　　　 ∴　 A={2，1，0，-3}

点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的

　　 整数a的值，若将题目改为，

　　 　则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}.

2. 用描述法表示下列集合：

　(1) 奇数的集合；

　(2)正偶数的集合；

　(3)不等式2x-3>5的解集；

　(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的

　　 集合；　　　　　　　　 　.